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2010

西武学園文理2010【3】 ☆場合の数・カードで3けたの数を作る☆

4枚のカードA、B、C、Dがあり、それぞれ表と裏に次のように数字が書いてあります。
 
※ 画像はクリックすると拡大します。

seib301.png



この中からカード3枚を順に並べて、3けたの整数を作ります。次の問いに答えなさい。
 
(1)
A、B、Cの3枚のカードを順に並べるとき、偶数は何通りできますか。
 
(2)
A、B、C、Dの4枚のカードから3枚を選んで順に並べるとき、3の倍数は何通りできますか。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!


(1)
A、B、Cの3つのカードを並べて3ケタの偶数を作る場合、一の位には「0・2・4」のいずれかが来ます。
 
【一の位に0が来る場合】
 
次の図のように、一の位にAのカードの表面にある0が来る場合、百の位はBまたはCのカードの両面にある「2・3・4・5」のいずれかがあてはまります。
 
また、仮に百の位にBのカードをあてはめたとすると、十の位にはCのカードの両面にある「4・5」のどちらかがあてはまります。

逆に百の位にCのカードをあてはめると、十の位にはBのカードの両面にある「2・3」のどちらかがきます。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。

seib302.png









つまり一の位が0の場合、百の位にあてはめる数字の選び方が4通り(BまたはCの両面にある4つの数のどれか)、そして十の位の数字は2通り(百の位で使わなかったカードの両面にある数のどちらか)なので、3けたの偶数「□□0」の作り方は4×2=8通りになります。
 
 
【一の位が2または4の場合】
 
とりあえず一の位にBのカードの表面にある2をあてはめてみると、百の位にAとCのどちらのカードを使うのかによって話の続きが変わってきます。
 
たとえば百の位にAのカードを使う場合、次の図のようにAのカードは裏面の1しか使えません。
 
※ いちばん上の位に0は使えないから。
 
また、十の位にはCの両面にある「4・5」のどちらかがあてはまるので、3けたの偶数「AC2」の作り方は1×2=2通りになります。

seib303.png








次は百の位にCのカードを使う場合を考えてみると、百の位にはCの両面にある「4・5」のどちらかが、そして十の位にはAの両面にある「0・1」のどちらかがあてはまります。
 
つまり、3けたの偶数「CA2」の作り方は2×2=4通りになります。

seib304.png








以上から、一の位が2の場合、3けたの偶数は全部で2+4=6通り作れます。
 
 
ここまでの流れから、
 
・一の位が0のとき→3けたの偶数の組み合わせは全部で8通り
・一の位が2のとき→3けたの偶数の組み合わせは全部で6通り
・一の位が4のとき→一の位が2のときと同じく6通り
 
であることが分かるので、3けたの偶数は全部で8+6×2=20通りできます。
 
 
(2)
3の倍数には「各位の和が3の倍数になる」という特徴があるので、まずは0から7までの中から3つの数を選び、その合計が3の倍数になるときを考えてみます。
 
0から7までの中から3つの数を選んだときの和は、最も小さい場合が0+1+2=3、最も大きい場合が5+6+7=18です。
 
ただし、「0・1」と「6・7」はそれぞれ同じカードの両面にある数なので、実際には3つの数の合計が3や18になることはあり得ません。
 
そこで、3つの数の合計が3の倍数のうち「6・9・12・15」になる組み合わせを探してみると、次のようになります。
 
・6になる場合→(0・2・4)
・9になる場合→(0・3・6)、(0・2・7)、(1・2・6)、(1・3・5)
・12になる場合→(0・5・7)、(1・4・7)、(1・5・6)、(2・4・6)
・15になる場合→(3・5・7)
 
このうち、たとえば(0・2・4)のように0が使われている組み合わせの場合、百の位には0が使えないので「2・4」のどちらか(仮に2を選んだとする)、十の位は「0・4」のどちらか(仮に0を選んだとする)、そして一の位は最後に残った「4」となることから、3けたの数は全部で2×2×1=4通りできます。

seib305.png










一方、(1・2・6)のように0が使われていない場合は特に制限がないので、百の位には「1・2・6」のどれか(仮に1を選んだとする)、十の位は「2・6」のどちらか(仮に2を選んだとする)、そして一の位は最後に残った「6」となることから、3けたの数は全部で3×2×1=6通りできます。

seib306.png







さっき見つけた3の倍数になる組み合わせのうち、0を使う場合が4通り、0を使わない場合が6通りあるので、答えは4×4+6×6=52通りになります。

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