気まぐれ解説カフェ(仮)

半径６㎝、中心角２７０度のおうぎ形があります。次の図のように、半径２㎝の円が、おうぎ形のまわりを矢印の方向におうぎ形に接しながら１周して、元の位置に戻ります。次の(　　)にあてはまる数を求めなさい。ただし、円周率は３.１４とします。
 
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(１)
おうぎ形の周のうち、円と接することができる部分の長さは(　　)㎝です。
 
(２)
円の中心が動いてできる線の長さは(　　)㎝です。
 
(３)
円が通ったあとにできる図形の面積は(　　)㎠です。
 
 
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(１)
半径２㎝の円が、次の図のように半径６㎝で中心角２７０度のおうぎ形のまわりを転がりながら１周するとき、円と接する部分は、
 
・図の青い曲線→半径６㎝で中心角２７０度のおうぎ形の弧
・図の緑色の直線(２本)→どちらも長さは６－２＝４㎝
 
の２種類に分けることができます。
 
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半径６㎝で中心角２７０度のおうぎ形の弧の長さは６×２×３.１４×３６０分の２７０＝２８.２６㎝、そして長さ４㎝の直線２本分の長さは４×２＝８㎝です。
 
したがって、円と接する部分の長さの合計は２８.２６＋８＝３６.２６㎝になります。
 
 
(２)
半径２㎝の円が、次の図のようにおうぎ形のまわりを転がりながら１周するとき、円の中心が通ってできた線は、
 
・図の青い曲線→半径が６＋２＝８㎝で、中心角２７０度のおうぎ形の弧
・図のオレンジ色の曲線(２本)→半径が２㎝で中心角９０度のおうぎ形の弧
・図の緑色の直線(２本)→どちらも長さは６－２＝４㎝
 
の３種類に分けることができます。














半径が８㎝で中心角２７０度のおうぎ形の弧の長さは８×２×３.１４×３６０分の２７０＝３７.６８㎝、半径が２㎝で中心角９０度のおうぎ形の弧２本分の長さは２×２×３.１４×３６０分の９０×２＝６.２８㎝、そして長さ４㎝の直線２本分の長さは４×２＝８㎝です。
 
したがって、円の中心が動いてできる線の長さは全部で３７.６８＋６.２８＋８＝５１.９６㎝になります。
 
 
(３)
おうぎ形のまわりを、次の図のように半径２㎝の円が通過した部分の面積は、図の「青い食べかけのドーナツ」と「オレンジ色のおうぎ形２個」と「緑色のＬ字型の図形」の面積の合計から、中心Ｏの近くにある「小さな紫色の部分」の面積を引けば求められます。















上の図の「青い食べかけのドーナツ」の面積は、半径が６＋４＝１０㎝で中心角２７０度のおうぎ形の面積から、半径が６㎝で中心角２７０度のおうぎ形の面積を引けば求められるので、１０×１０×３.１４×３６０分の２７０－６×６×３.１４×３６０分の２７０＝１５０.７２㎠になります。
 
また、オレンジ色のおうぎ形２個は、どちらも半径が４㎝で中心角が９０度なので、その面積の合計は４×４×３.１４×３６０分の９０×２＝２５.１２㎠です。
 
次の図は、おうぎ形の中心Ｏの右上にある緑色と紫色の部分を拡大したときの様子を表しています。













この図のＬ字型をした多角形ＡＯＢＣＤＥの面積は、１辺６㎝の正方形の面積から１辺２㎝の正方形の面積を引けば求められるので、６×６－２×２＝３２㎠です。
 
また、紫色の部分は１辺２㎝の正方形の面積から、半径２㎝で中心角９０度のおうぎ形の面積を引けば求められるので、２×２－２×２×３.１４×３６０分の９０＝０.８６㎠です。
 
したがって、上の図で円が通過する部分の面積は、３２－０.８６＝３１.１４㎠になります。
 
これまでに分かったことをまとめると、
 
・「青い食べかけのドーナツ」の面積→１５０.７２㎠
・「オレンジ色のおうぎ形２個」の面積→２５.１２㎠
・「Ｌ字型の図形」の中で、円が通過する部分の面積→３１.１４㎠
 
なので、円が通過する部分の面積の合計は１５０.７２＋２５.１２＋３１.１４＝２０６.９８㎠になります。