図のように、１㎝の方眼の上に正三角形ＡＢＣ、正三角形ＥＣＤがあります。その正三角形の１辺の長さはともに２㎝で、Ｆは辺ＡＣを２等分する点です。この方眼の上に、３つの点Ｇ、Ｈ、Ｉを三角形ＧＢＤ、ＨＡＦ、ＩＦＣがどれも正三角形になるようにとります。ただし、点ＨとＩは正三角形ＡＢＣの辺上にはとらないものとします。
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(１)
点Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｉの８つの点のうち、点Ａを中心とする半径２㎝の円の周上にある点をすべて答えなさい。
(２)
次の図形の面積は正三角形ＡＢＣの面積のそれぞれ何倍ですか。
① 五角形ＡＦＩＥＧ
② 三角形ＧＨＩ
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(１)
まずは３つの点Ｇ、Ｈ、Ｉが方眼のどこにあるのかを確認してみます。
次の図のように、三角形ＡＢＣと同じ大きさの正三角形をもう１個上に積むと、辺ＧＢ、ＢＤ、ＧＤの長さはすべて等しくなるので、ＧＢＤは正三角形になります。
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次は下の図のように三角形ＡＣＥを小さな正三角形４個に分けると、ＨＡＦとＩＦＣはどちらも正三角形になります。
点Ａを中心として半径２㎝の円をかいてみると、その円周上には次の図のようにＡから２㎝離れた場所にある点Ｂ、Ｃ、Ｅ、Ｇの４つがあります。
(２)の①
次の図を見れば分かるように、正三角形ＡＢＣの面積は小さい正三角形４個分、そして五角形ＡＦＩＥＧの面積は小さい正三角形が緑色４個と黄色３個で合わせて７個分になっています。
したがって、五角形ＡＦＩＥＧの面積は正三角形ＡＢＣの７÷４＝１.７５倍になります。
(２)の②
次の２つの図を利用して、青い三角形ＡＪＣと緑色の三角形ＧＨＩを比べてみると、
・底辺→ＡＪとＧＨの長さは同じ
・高さ→ＪＣの長さは赤い点線の長さの２倍
なので、三角形ＡＪＣの面積はＧＨＩの２倍であることが分かります。
したがって、上の図の三角形ＧＨＩの面積を１とおくとＡＪＣの面積は２、そしてＡＢＣの面積はそのさらに２倍にあたる４と表すことができます。
以上から、三角形ＧＨＩの面積はＡＢＣの１÷４＝０.２５倍になります。
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