図のように正十角形のある頂点から４番目ごとの点を対角線で結んでいき、もとの頂点に戻るまで続けると、対角線は全部で５本引けます。
同じ約束で正十五角形のある頂点から６番目ごとに結んでいくと対角線は全部で( ア )本引け、７番目ごとに結んでいくと対角線は全部で( イ )本引けます。
( ア )、( イ )にあてはまる数を求めなさい。
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まずは簡単に、問題の意味を確認してみます。
正十角形の真上にある頂点をスタート地点として、そこから時計回りに４個ずつ頂点を進んでいくと、次の図のようにちょうど２周目でスタート地点に戻り、途中で止まるたびにオレンジ色の直線(出発点と止まった場所を結んだ対角線)が５本引けます。
(画像はすべて、クリックすると拡大します)
その結果、スタートからゴールするまでに途中で引いた５本の対角線によって、正十角形の中に次のような☆型の図形ができるのですが、そもそもなんでちょうど２周したときにスタート地点に帰ってくるのかというと・・・
正十角形の頂点は全部で１０個なので、スタート地点に戻るには１周→１０個、２周→２０個、３周→３０個、・・・のように、１０の倍数だけ頂点を進めばＯＫです。
実際には頂点を４個ずつ進むので、４と１０の最小公倍数である２０個進んだとき、ちょうどスタート地点に戻ります。
２０個の頂点を４個ずつ進むとき、全部で２０÷４＝５回止まり、そのたびに対角線を１本ずつ引くので、対角線の本数は全部で５本になっています。
はい、なんとなくルールを確認したところでそろそろ本題に移りましょう。
(ア)
正十五角形の頂点は全部で１５個なので、スタート地点に戻るには１周→１５個、２周→３０個、３周→４５個、・・・のように、１５の倍数だけ頂点を進めばＯＫです。
実際には頂点を６個ずつ進むので、６と１５の最小公倍数である３０個進んだとき、ちょうどスタート地点に戻ります。
３０個の頂点を６個ずつ進むとき、全部で３０÷６＝５回止まり、そのたびに対角線を１本ずつ引くので、対角線の本数は全部で５本になります。
(イ)
１周するためには頂点を１５の倍数だけ進めばＯＫですが、実際には頂点を７個ずつ進むので、７と１５の最小公倍数である１０５個進んだとき、ちょうどスタート地点に戻ります。
１０５個の頂点を７個ずつ進むとき、全部で１０５÷７＝１５回止まり、そのたびに対角線を１本ずつ引くので、対角線の本数は全部で１５本になります。
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