立方体から直方体を切り取って、図１のような容器を作りました。この容器の中に水が入っていて、どこからも水はこぼれません。
アの面が正面になるようにこの容器を置くと、図１のように水面は上の面から４.８㎝のところにあります。
アの面が上になるようにこの容器を置くと、図２のように水面は上の面から７㎝のところにあります。
アの面が下になるようにこの容器を置くと、図３のように水面は上の面から４㎝のところにあります。
図１の直線ＡＢの長さは、図３の直線ＥＦの長さの半分です。
次の問いに答えなさい。
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(１) 図２の直線ＣＤの長さを求めなさい。
(２) 図３の直線ＥＦの長さを求めなさい。
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(１)
図１の辺ＡＢは図３の辺ＥＦの長さの半分なので、辺ＡＢの長さを①とおくと、辺ＥＦの長さは次の図のように②と表せます。
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このとき、図２と図３の水面よりも上の部分を真正面から見ると次のような図になります。どちらも横の長さは②で体積も同じなのですが、図２は真ん中で段差ができています。
このままだと図２と図３を見比べてもいまいちピンとこないので、図３を真ん中で縦にスパッと切断して、右半分を積み木のように上に積んでみると、次のような図になります。
上の図２のアとイの体積と図３のウとエの体積は等しいので、図２のイをアの上に積めば高さの合計は８㎝になるはずです。
つまり、図２のイの高さは８－７＝１㎝になるので、図２の辺ＣＤの長さ(アとイの高さの差)は７－１＝６㎝になります。
(２)
図１と図３の立体を真上から見ると次のようになります。
どちらの立体ももともとは立方体から直方体を取り除いて作ったものなので、図１や図３の横の長さが②なら、たての長さも②になっているはずです。
また、図１のオレンジ色と図３のピンク色の部分が、それぞれの立体の上部にできたすきま(水面よりも上の部分)の底面積なのですが、図１の底面積は図３に比べて緑色の部分だけせまいので、すきまの高さは図１の方が４.８－４＝０.８㎝高くなっています。
ということは、オレンジ色の部分にある０.８㎝分の空気を緑色の部分に流し込んでやると、高さは平均化されて図３と同じく４㎝になるわけです。
このとき、オレンジ色の部分の底面積を□㎠、緑色の部分の底面積を△㎠とおいて、すきまの高さを４㎝に平均化する様子を面積図に表すと次のようになります。
上の図のアの部分をウに流し込むことによって、イとウの高さの平均は４㎝になります。
このとき、アの体積とイの体積は等しいので、□㎠×０.８㎝＝△㎠×４㎝という式ができるのですが、その式から□：△＝４：０.８＝５：１という比が求められます。
※ 比の内項と外項の積は等しいことを利用して比を求めました。
オレンジ色と緑色の部分の面積比である５：１をパズル感覚で図に表すと、次のように図１は面積が①の長方形で５＋１＝６等分されるので、図の？(辺ＥＦの長さもふくむ)はすべて６×３＝１８㎝になります。
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