ある中学校では学年ごとの最大定員は５００人です。１年生全体の人数は２年生全体の人数よりは１３人多く、３年生全体の人数より６５人少なくなっています。また、２年生は２６人ずつのクラスで、３年生は３２人ずつのクラスです。次の問いに答えなさい。
(１) ３年生全体の人数は何人ですか。
(２) １年生全体を何人ずつのクラスにすると、２年生と同じクラス数になりますか。
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(１)
まずはいちばん人数の少ない２年生の生徒数を基準にして、３つの学年の人数の関係を次のような線分図に表してみます。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
２年生はすべて２６人ずつのクラスなので、学年全体の人数は「２６×□」という式で表すことができます。
また、３年生は２年生よりも１３＋６５＝７８人多いので、学年全体の人数は「２６×□＋７８」という式で表せます。
３年生のクラスはすべて３２人なので、「２６×□＋７８」の答えは３２の倍数になります。
そもそも２６の倍数というのは、「２６」のかたまりがたくさん並んでいる状態のことを指しています。
つまり「２６×□＋７８」を図に表すと、次のように２６人のグループがたくさんあって、さらに７８人が余っている状態になります。
それを３２の倍数に変換するためには、次の図のようにまずは７８人を６人ずつのグループに分け、それを２６人のグループに次々とくっつけていけばＯＫです。
７８÷６＝１３なので、上の図の赤い「６人」と青い「２６人」をくっつける作業は全部で１３回できます。
つまり、３年生全体は３２人のクラスが１３組あると考えられるので、学年全体の人数は３２×１３＝４１６人になります。
(２)
３年生全体の人数は４１６人なので、２年生全体の人数は４１６－７８＝３３８人、そして１年生全体の人数は３３８＋１３＝３５１人になります。
２年生のクラスの数は３３８÷２６＝１３組なので、１年生もクラスの数を１３組にするためには、１つのクラスの人数を３５１÷１３＝２７人にすればＯＫです。
【もうちょっとカッコいい求め方】
(１)の問題を解いたときに、３年生のクラス数は１３組であることを確認しました。
次の図の緑色の枠が３年生の１クラスを、そして青色の枠が２年生の１クラスをそれぞれ表していることに気がつけば、どちらの学年もクラスは１３組あることが分かります。
※ ２年生の人数は２６×１３、３年生の人数は(２６＋６)×１３で求められる。
また、１年生の人数は２年生より１３人多いので、１年生全体の人数は「２６×１３＋１３」という式で表すことができます。
したがって次の図のように、余りの１３人を１人ずつ「２６人」とくっつけていけば、１年生の生徒を１３組に分けることができるので、１年生の１クラスあたりの人数は２６＋１＝２７人になります。
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