気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のように、大きなおうぎ形(半径３㎝、中心角１２０度)の板２枚と、小さなおうぎ形(半径１㎝、中心角６０度)の板２枚をつけた板Ｘがあります。点Ａに長さ９３㎝の糸がついていて、先端におもりＰがついています。水平な床に対して垂直なかべに、床におもりがつかないように、板Ｘを点Ｏを中心に回転するように固定します。
 
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図のように、ＡＣが床に平行な状態から、点Ｏを中心として矢印の方向に板Ｘを回転させ、糸を板Ｘに巻きつけていきます。このとき、円周率を３.１４として次の問いに答えなさい。ただし、おもりの大きさは考えないことにします。
 
 
(１)
板Ｘが１回転する間におもりＰの動いた長さを求めなさい。
 
(２)
おもりＰが板Ｘに初めてつくまでに(　　)回転します。(　　)にあてはまる最大の整数を求めなさい。
 
 
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(１)
次の図のように、板Ｘを時計回りに少しだけ(正確には３０度)回転させると、糸の端が点Ｂにくっついて三角形ＯＡＢができます。
 
この三角形は、角ＡＯＢが６０度で辺ＯＡとＯＢがどちらも３㎝なので正三角形であり、辺ＡＢの長さも３㎝になります。
 
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板Ｘをさらに右へ回すと、次の図のように糸が点Ｂから点Ｃまで巻きつきます。
 
そのときの青い曲線の長さは、半径３㎝で中心角１２０度のおうぎ形ＯＢＣの弧の長さを計算すれば求められるので、３×２×３.１４×３６０分の１２０＝６.２８㎝になります。











つまり次の図のように、板Ｘを１回転させたときに巻きつく糸の長さは、「長さ３㎝の赤い直線が２本」と「長さ６.２８㎝の青い曲線が２本」に分けられるので、糸の長さの合計は(３＋６.２８)×２＝１８.５６㎝になります。















(２)
さっきの問題で、板Ｘを１回転したときに巻きつく糸の長さは１８.５６㎝であることが分かったので、その長さで糸全体の長さである９３㎝を割ってみると、９３÷１８.５６＝５余り０.２となります。
 
つまり、おもりＰが板Ｘに着くのは６回転目の途中なので、板Ｘはそれまでに５回転しました。