09/06
Tue
2011
(１)
次の図の辺ＡＦとＦＢの長さの比は１：２なので、辺ＤＣの長さは１＋２＝３と表せます。
また、下の図の三角形ＦＢＩとＣＤＩは８の字相似であり、辺ＦＢとＣＤの長さの比が２：３なので、辺ＢＩとＩＤ、辺ＦＩとＩＣの長さの比もそれぞれ２：３となります。
ついでに三角形ＦＢＩとＣＤＩの面積比も求めておくと、長さの比が２：３なので、面積比は２×２：３×３＝４：９となります。
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次の図の三角形ＡＢＨとＣＤＨは、平行四辺形の内部を２本の対角線で区切ると左右にできる三角形なので合同であり、対応する辺の長さはすべて１：１と表せます。
※ 「ＡＢ：ＣＤ」、「ＢＨ：ＨＤ」、「ＡＨ：ＨＣ」はすべて１：１。
これまでに分かったことをもとにして辺ＢＤの長さを比で表すと、
・辺ＢＩとＩＤの長さの比は２：３なので、辺ＢＤの長さは２＋３＝５
・辺ＢＨ：ＨＤの長さの比は１：１なので、辺ＢＤの長さは１＋１＝２
となるのですが、同じ長さのはずなのに比がそろっていないのはおかしいので、次の図のように比の合計を５と２の最小公倍数である１０にそろえてみると、
・「ＢＩ：ＩＤ＝２：３」を２倍→ＢＩ：ＩＤ＝４：６
・「ＢＨ：ＨＤ＝１：１」を５倍→ＢＨ：ＨＤ＝５：５
となるので、辺ＩＨの長さは比の５－４＝１と表せることが分かります。
※ 辺ＩＨ＝ＢＨ－ＢＩ
つまり次の図のように、辺ＢＩの長さは比の４、ＩＨの長さは比の１、そしてＨＤの長さは比の５と表せます。
また、下の図の三角形ＣＨＩとＣＤＨは、底辺をそれぞれＩＨとＨＤとすると高さは等しいので、面積比は底辺比と同じく１：５となります。
すでに三角形ＦＢＩとＣＤＩの面積比が４：９となることは確認済みなので、三角形ＣＤＩの面積である比の９を１：５に比例配分して、三角形ＣＨＩとＣＤＨの面積をそれぞれ求めてみると、
・三角形ＣＨＩの面積→９×６分の１＝１.５
・三角形ＣＤＨの面積→９×６分の５＝７.５
となります(実際に必要なのはＣＨＩの面積だけ)。
以上から、三角形ＦＢＩの面積を比の４とすると、ＣＨＩの面積は比の１.５と表せることが分かったので、答えは４：１.５＝８：３となります。
(２)
次の図の辺ＡＥとＥＤの長さの比は１：３なので、辺ＢＣの長さは１＋３＝４と表せます。
また、下の図の三角形ＥＧＤとＣＧＢは８の字相似であり、辺ＥＤとＢＣの長さの比が３：４なので、辺ＤＧとＧＢの長さの比も３：４となります。
※ ちなみにＤＧ：ＧＢ＝３：４を逆向きに見ると、ＢＧ：ＧＤ＝４：３と表せます。
ついでに三角形ＥＧＤとＣＧＢの面積比も求めておくと、長さの比が３：４なので、面積比は３×３：４×４＝９：１６となります。
さっきの問題で分かった「ＢＩ：ＩＤ＝２：３」と、「ＢＧ：ＧＤ＝４：３」を使って辺ＢＤの長さを比で表してみると、
・「ＢＩ：ＩＤ＝２：３」を使った場合→辺ＢＤの長さは２＋３＝５
・「ＢＧ：ＧＤ＝４：３」を使った場合→辺ＢＤの長さは４＋３＝７
となるのですが、同じ長さのはずなのに比がそろっていないのはおかしいので、次の図のように比の合計を５と７の最小公倍数である３５にそろえてみると、
・「ＢＩ：ＩＤ＝２：３」を７倍→ＢＩ：ＩＤ＝１４：２１
・「ＢＧ：ＧＤ＝４：３」を５倍→ＢＧ：ＧＤ＝２０：１５
となります。
ただ、それだと辺ＢＤの半分の長さにあたるＢＨやＨＤの長さが３５÷２＝１７.５という感じで小数になってちょっとイヤなので、上の図のように両方の比をさらに２倍して、
・「ＢＩ：ＩＤ＝１４：２１」を２倍→ＢＩ：ＩＤ＝２８：４２
・「ＢＧ：ＧＤ＝２０：１５」を２倍→ＢＧ：ＧＤ＝４０：３０
とすれば、辺ＢＤの長さは比の２８＋４２＝７０、そしてＢＨやＨＤの長さは比の７０÷２＝３５となり、すべてが整数比でスッキリします。
次の図の辺ＩＨの長さはＢＨからＢＩを引けば求められるので３５－２８＝７、そして辺ＨＧの長さはＢＧからＢＨを引けば求められるので４０－３５＝５と表せます。
また、下の図の三角形ＣＩＢ、ＣＨＩ、ＣＧＨはどれも高さが等しいので、面積比は底辺比と同じく２８：７：５です。
つまり、三角形ＧＢＣの面積である比の１６を２８：７：５に比例配分すればそれらの三角形の面積が分かるので、三角形ＣＨＩの面積は１６×４０分の７＝２.８と表せます。
以上から、三角形ＣＨＩの面積比は２.８、三角形ＥＧＤの面積比は９と表せることが分かったので、答えは２.８：９＝１４：４５になります。
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