10/29
Sat
2011
(１)
まずは点ＰとＱが進む速さをそれぞれ求めておくと、
・点Ｐ→ＡＢ間の１０㎝を１０秒で進むので、１０÷１０＝毎秒１㎝
・点Ｑ→ＢＣ間の１５㎝を１０秒で進むので、１５÷１０＝毎秒１.５㎝
となります。
点ＰがＡから、点ＱがＢから同時にスタートしてからの４秒間で、点ＰはＡから１×４＝４㎝、点ＱはＢから１.５×４＝６㎝進みます。
スタートしてから４秒後の点ＰとＱの位置を次の図のように書き込み、ついでに点ＡとＱを直線で結んでみると、辺ＢＣは１５㎝、辺ＢＱは６㎝なので、辺ＱＣの長さは１５－６＝９㎝になります。
つまり、下の図のＡＱＣＤは辺ＡＤとＱＣの長さが等しいことから長方形であり、角ＡＱＣとＡＱＢはどちらも９０度であることが分かります。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
上の図の三角形ＡＢＱは、底辺ＢＱが６㎝、高さＡＱが８㎝の直角三角形なので、その面積は６×８÷２＝２４㎠です。
また、次の図の三角形ＡＰＱとＰＢＱは、底辺をそれぞれＡＰ、ＰＢとすると高さが等しいので、面積比は底辺比と同じく４㎝：６㎝＝２：３になります。
つまり、直角三角形ＡＢＱの面積である２４㎠を２：３に比例配分すれば三角形ＡＰＱとＰＢＱの面積がそれぞれ求められるので、三角形ＰＢＱの面積は２４×５分の３＝１４.４㎠になります。
(２)
次の図のように、点Ｂから右へ６㎝離れたところを点Ｆとし、点ＡとＦを直線で結ぶと、三角形ＡＢＦは角ＡＦＢが９０度の直角三角形になります。
三角形ＰＢＱが初めて直角三角形になるのは、下の図の辺ＰＱが赤い辺ＡＦと平行になったときであり、そのとき「辺ＡＦと点Ｐとの幅」と「点ＢからＱまでの距離」の合計は、辺ＢＦの長さと同じく６㎝になっています。
点ＰがＡからＢへと進むにつれて、赤い辺ＡＦと点Ｐとの幅は次の図のように少しずつ広がっていき、点ＰがＢに到着したときには、その幅が辺ＢＦの長さと同じく６㎝まで広がります。
つまり、点ＰがＡＢ間を進むのにかかる１０秒間で、赤い辺ＡＦと点Ｐとの幅は６㎝に広がったので、その幅は１秒間に６÷１０＝０.６㎝ずつ広がっていくことが分かります。
次の図のように、赤い辺ＡＦと点Ｐとの幅は毎秒０.６㎝ずつ、点ＢからＱまでの距離は毎秒１.５㎝ずつ広がっていくので、その合計が６㎝となり、三角形ＰＢＱが直角三角形になるのは、スタートしてから６÷(０.６＋１.５)＝７分の２０秒後になります。
※ 最後の計算は、２人が向かい合わせで進むときの旅人算と同じ考え方です。
【わりとどうでもいい補足】
本当は、点Ｂから右へ６㎝離れた点を「Ｅ」としたかったのですが、よく見たら次の問題で「本物の点Ｅ」が出てくるので、Ｅじゃなくて「Ｆ」にしました。
(３)
まずは２つの点がスタートしてから３秒間に進む距離をそれぞれ確認しておくと、
・点Ｐ→１×３＝３㎝
・点Ｑ→１.５×３＝４.５㎝
なので、スタートから３秒後の点ＰとＱの位置を図に書き込むと次のようになります。
このままだとＰＥとＥＱの長さの比を求める手掛かりが何もないので、次の図のように、辺ＡＤとＢＱのどちらとも平行な赤い辺ＰＧを引くと、
・三角形ＡＢＤとＰＢＧは相似
・三角形ＰＥＧとＱＥＢは８の字相似
のように、相似な三角形の組み合わせが２つできます。
三角形ＡＢＤとＰＢＧは相似なので、次の図のように２つの三角形を分離して比べてみると、辺ＡＢとＰＢの長さの比は１０㎝：７㎝＝１０：７になっていることが分かります。
つまり、辺ＡＤとＰＧの長さの比も１０：７なので、辺ＰＧの長さを□㎝とおくと、「１０：７＝９㎝：□㎝」という比例式ができます。
したがって、辺ＰＧの長さは７×９÷１０＝６.３㎝になります。
次の図の三角形ＰＥＧとＱＥＢは８の字相似であり、辺ＰＧとＢＱの長さの比が６.３㎝：４.５㎝＝７：５となることが分かったので、この問題で求めたい辺ＰＥとＥＱの長さの比も７：５になります。
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