気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のように、正方形を面積が等しい長方形と三角形で１１個に分けました。このとき、アの長方形の周りの長さは４０㎝でした。次の問いに答えなさい。
 
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(１)
ＡＢとＢＣとＣＤの長さの比をもっとも簡単な整数で表しなさい。
 
(２)
この正方形の面積は何㎠ですか。
 
 
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(１)
次の図の三角形ＤＡＦの内部は、面積が等しい４つの三角形に分かれているので、三角形ＣＡＦとＤＣＦの面積比は３：１と表せます。
 
また、三角形ＣＡＦの底辺をＡＣ、三角形ＤＣＦの底辺をＣＤとすると、この２つの三角形は高さが等しいので、底辺ＡＣとＣＤの長さの比は、面積比と同じく３：１になります。
 
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次の図の三角形ＢＡＥの底辺をＡＢ、三角形ＣＢＥの底辺をＢＣとすると、この２つの三角形は面積も高さも等しいので、底辺ＡＢとＢＣの長さも同じです。
 
さっき、辺ＣＤの長さを比の１とおくと、辺ＡＣの長さは比の３と表せることが分かったので、辺ＡＢとＢＣの長さはどちらも比の３÷２＝１.５と表せます。














つまり、辺ＡＢとＢＣの長さはどちらも比の１.５、そして辺ＣＤの長さは比の１と表せるので、辺ＡＢとＢＣとＣＤの長さの比は、１.５：１.５：１＝３：３：２になります。
 
 
(２)
次の図のように、正方形の内部には「長方形ア」と「三角形イ～サ」があり、それらによって正方形の面積は１１等分されています。
 
この図の青い長方形アと黄色い長方形イウ(三角形２個分)はたての長さが等しく、面積比が１：２なので、横の長さも面積比と同じく１：２と表せます。
 
また、その比を使って正方形の１辺の長さを表すと、１＋２＝３となります。















次の図の緑色の長方形エオカキクケコサ(三角形８個分)と青い長方形アイウ(三角形３個分)は、横の長さが等しく、面積比が８：３なので、たての長さも面積比と同じく８：３と表せます。
 
また、その比を使って正方形の１辺の長さを表すと、８＋３＝１１となります。














正方形の１辺の長さは縦も横も同じはずなのに、１辺の長さが一方の比(１：２)では３、もう一方の比(８：３)では１１となってしまったので、その２つの比の合計を３と１１の最小公倍数である３３にそろえてみると、
 
・「１：２」を１１倍→１１：２２
・「８：３」を３倍→２４：９
 
となるので、次の図のように、長方形アのたての長さは比の９、横の長さは比の１１と表せることが分かります。














長方形アの周りの長さは４０㎝なので、たてと横の長さの合計は４０÷２＝２０㎝です。
 
上の図を見れば分かるように、長方形アはたての長さの比が９、横の長さの比が１１なので、比の９＋１１＝２０が２０㎝にあたります。
 
つまり、比の１は２０÷２０＝１㎝なので、正方形の１辺の長さ(比の３３)は１×３３＝３３㎝、そして正方形の面積は３３×３３＝１０８９㎠になります。