10/23
Sun
2011
(１)
次の図の台形ＡＢＣＤは、上底ＡＤの長さが辺ＥＦと同じく２０㎝、下底ＢＣの長さは９＋２０＋５＝３４㎝、そして高さＡＥは１２㎝です。
したがって、台形ＡＢＣＤの面積は(２０＋３４)×１２÷２＝３２４㎠になります。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
(２)
半径１㎝の円１が次の図のように台形ＡＢＣＤのまわりを１周したとき、円の中心が動いてできた線は
・青い４本の直線アイウエ
・オレンジ色の曲線オカキク
の２種類に分けられます。
上の図の青い直線アイウエの長さの合計は２０＋１５＋１３＋３４＝８２㎝、そしてオレンジ色の曲線オカキクをくっつけると半径１㎝の円ができるので、その長さの合計は１×２×３.１４＝６.２８㎝です。
したがって、円１の中心が動いてできた線の長さの合計は、８２＋６.２８＝８８.２８㎝になります。
【補足】
さっきの説明で「オレンジ色の曲線オカキクをくっつけると半径１㎝の円ができる」と書いたのですが、「ホントにちょうど円１個分になるの？」と思った疑い深いあなたへ、そうなる理由をサクッと説明してみます。
次の図のように、ピンク色の台形のまわりを緑色の円が１周するとき、円の中心が動いてできた線は「青い４本の直線」と「オレンジ色の４本の曲線」に分けられます。
※ 「４つの長方形」と「４つのおうぎ形」が見えればカンペキ。
上の図の台形の４つの頂点に集まっている角度に注目してみると、
・左上の頂点→おうぎ形の中心角ア、９０度が２個、台形の内角オ
・左下の頂点→おうぎ形の中心角イ、９０度が２個、台形の内角カ
・右下の頂点→おうぎ形の中心角ウ、９０度が２個、台形の内角キ
・右上の頂点→おうぎ形の中心角エ、９０度が２個、台形の内角ク
となっており、それらの角度の合計は３６０×４＝１４４０度です。
また、「９０度が２個」が４つ分の角度の合計は９０×２×４＝７２０度、台形の内角オ～クの角度の合計は３６０度なので、おうぎ形の中心角ア～エの合計は１４４０－(７２０＋３６０)＝３６０度です。
つまり、オレンジ色の曲線を４本つなげると中心角が３６０度になるので、曲線の長さはちょうど円１個分になります。
なんでさっきの解説のときにこの説明をスルーしたのかというと、台形のまわりを転がる円が小さすぎるせいで作図がめんどくさそうだったからです。
ついでに言うと、「三角形だろうと四角形だろうと五角形だろうと、その外周を円が１まわりしたときにできるおうぎ形はちょうど円１個分になるんだよ。だって、１周したんだから中心角の合計は３６０度になるに決まってるじゃん」というのが本音だけど、それだけでみんなに分かってもらえるほど世の中は甘くないのが実情です。
(３)
長方形ＡＥＦＤの内側を半径２㎝の円が１周するとき、次の図の緑色の部分を通過するので、長方形全体の面積から「中央の青い長方形」と「すみっこにある４つの黄色い部分」の面積を引けば緑色の部分の面積が求められます。
上の図の長方形ＡＥＦＤの面積は１２×２０＝２４０㎠、そして中央にある青い長方形はたての長さが１２－４×２＝４㎝、横の長さが２０－４×２＝１２㎝なので、その面積は４×１２＝４８㎠です。
また、次の図を見れば分かるように、黄色い４か所の部分の面積は、１辺４㎝の正方形の面積から半径２㎝の円の面積を引けば求められるので、４×４－２×２×３.１４＝３.４４㎠になります。
以上から、長方形ＡＥＦＤの面積は２４０㎠、中央にある青い長方形の面積は４８㎠、そして黄色い４か所の部分の面積の合計は３.４４㎠となることが分かったので、円２が通過した部分の面積は、２４０－(４８＋３.４４)＝１８８.５６㎠になります。
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