10/24
Mon
2011
(１)
次の図のように、点Ｐが点Ａの右側にあり、辺ＡＰ＝６㎝のとき、辺ＰＤの長さは８－６＝２㎝になります。
そのとき、三角形ＰＡＢの面積は６×４÷２＝１２㎠、三角形ＰＣＤの面積は２×８÷２＝８㎠となるので、この２つの三角形の面積比は、１２㎠：８㎠＝３：２になります。
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(２)
【辺ＡＰの長さの１つ目の求め方】
次の図のように、点Ｐが辺ＡＤ上の真ん中あたりにいるとき、三角形ＰＢＣは辺ＢＣとＰＣの長さが等しい二等辺三角形になります。
というか、点Ｐは実際に辺ＡＤの真ん中にいるのですが、それを証明するために補助線を引いて合同な三角形を作ってみます。
次の図のように、辺ＡＢを真下に４㎝延長したところを点Ｅとして、ついでに点ＥとＣを直線で結ぶと、ＡＥＣＤは台形ＡＢＣＤを包み込むような１辺８㎝の正方形になります。
また、この図の直角三角形ＢＥＣとＰＤＣは、辺ＢＣとＰＣの長さが等しく、辺ＥＣとＤＣの長さもともに８㎝なので合同(直角三角形は、斜辺とほかのもう１組の辺の長さが等しければ合同)であり、辺ＰＤの長さはＢＥと同じく４㎝になります。
上の図の辺ＡＤは８㎝、そして辺ＰＤは４㎝なので、この問題で求めたい辺ＡＰの長さの１つ目は８－４＝４㎝になります。
【辺ＡＰの長さの２つ目の求め方】
次の図のように、点Ｐが点Ｄよりも何㎝か右にあるときも、三角形ＰＢＣは辺ＢＣとＰＣの長さが等しい二等辺三角形になります。
この図の辺ＡＤはすでに８㎝であることが分かっているので、後は辺ＤＰの長さを求めて８㎝と足せば、辺ＡＰの長さが求められます。
次の図のように補助線を引いて、さっきと同じく台形ＡＢＣＤを包み込むような１辺８㎝の正方形ＡＥＣＤを完成させると、直角三角形ＢＥＣとＰＤＣは、辺ＢＣとＰＣの長さが等しく、辺ＥＣとＤＣの長さがともに８㎝なので合同になります。
つまり、上の図の辺ＰＤの長さはＢＥと同じく４㎝なので、辺ＡＰの長さの２つ目は８＋４＝１２㎝になります。
(３)
【三角形ＰＢＣの面積の１つ目の求め方】
まずは台形ＡＢＣＤの面積を求めておくと、(４＋８)×８÷２＝４８㎠になります。
次の図のように点Ｐが点Ａよりも□㎝だけ左にあり、三角形ＰＡＢの面積が台形ＡＢＣＤと同じく４８㎠となるとき、三角形ＰＡＢの面積を求める式は「□×４÷２＝４８㎠」と表せます。
つまり、下の図の辺ＰＡの長さは４８×２÷４＝２４㎝なので、辺ＰＤの長さは２４＋８＝３２㎝になります。
次の図の三角形ＰＤＣの面積は３２×８÷２＝１２８㎠、そして三角形ＰＡＢと台形ＡＢＣＤの面積の合計は４８×２＝９６㎠です。
三角形ＰＢＣの面積は、三角形ＰＤＣの面積から三角形ＰＡＢと台形ＡＢＣＤの面積の合計を引けば求められるので、答えの１つ目は１２８－９６＝３２㎠になります。
【三角形ＰＢＣの面積の２つ目の求め方】
次の図のように点Ｐが点Ｄよりも□㎝だけ右にあり、三角形ＰＡＢの面積が台形ＡＢＣＤと同じく４８㎠となるとき、三角形ＰＡＢの面積を求める式は「ＡＰ×４÷２＝４８㎠」と表せます。
つまり、下の図の辺ＡＰの長さは４８×２÷４＝２４㎝なので、辺ＤＰの長さは２４－８＝１６㎝になります。
また、下の図の台形ＡＢＣＤの面積は「ア＋イ」、三角形ＰＡＢの面積は「ア＋ウ」であり、その２つの面積がどちらも４８㎠で等しいので、イとウの面積は同じであることも分かります。
この問題で求めたい三角形ＰＣＢの面積は、次の図のイとエの面積の合計なのですが、さっき「イ＝ウ」であることを確認したので、「イ＋エ」の代わりに「ウ＋エ」の面積を求めてもＯＫです。
ウとエを合わせると、ちょうど直角三角形ＰＣＤになるので、答えの２つ目は１６×８÷２＝６４㎠になります。
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