気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図１のように点Ｏを中心とする円の円周上を動く点Ｐ、Ｑを考えます。Ｐは円周上のある点Ａを出発し、反時計回りに１分間で４周する速さで動きます。ＱはＡを出発し、時計回りに１分間で２周する速さで動きます。ＰとＱは同時に出発し、出発してからぶつかるまでは速さを変えません。２点がぶつかるとＰはぶつかる前の２分の１の速さで、Ｑはぶつかる前の３分の２の速さでそれぞれ逆回りに動き始めます。このとき、次の問いに答えなさい。
 
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(１)
３点Ｐ、Ｏ、Ｑが最初に一直線になるのは出発してから何秒後ですか。
 
(２)
ＰとＱが出発してから２回目にぶつかったとき、角ＰＯＡの大きさは( ア )度で、それは出発してから( イ )秒後です。( ア )、( イ )にあてはまる数をそれぞれ答えなさい。ただし、角ＰＯＡの大きさとは、次の図２における１８０度以下の角度とします。










(３)
次の図３のように、Ａを片方の端の点とするこの円の直径の反対側の端の点をＢとします。Ｐ、ＱがＡを同時に出発するのと同時に、点ＲはＢから反時計回りに出発します。ただし、ＲはＰ、Ｑとはぶつからずにすれ違い、そのままの速さで動き続けます。














ＰとＱが出発してから２回目にぶつかるまでに、ＲがＰとは１回もすれ違わず、Ｑと２回すれ違うとき、Ｒの速さは毎分( ウ )周より速く、毎分( エ )周よりも遅くなります。( ウ )、( エ )にあてはまる数をそれぞれ答えなさい。
 
 
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(１)
まずは点ＰとＱが１秒間に進む角度をそれぞれ確認してみると、
 
・点Ｐ→円周上を６０秒間で３６０×４＝１４４０度進むので、１４４０÷６０＝毎秒２４度
・点Ｑ→円周上を６０秒間で３６０×２＝７２０度進むので、７２０÷６０＝毎秒１２度
 
となるので、点ＰとＱの速さの比は２４度：１２度＝２：１です。
 
次の図のように、３点Ｐ、Ｏ、Ｑが初めて一直線になったとき、点ＰとＱが進んだ角度の合計は１８０度になっています。
 
また、点ＰとＱの速さの比は２：１なので、１８０度を２：１に比例配分すれば、３点Ｐ、Ｏ、Ｑが初めて一直線になるまでに点ＰとＱが進んだ角度をそれぞれ求めることができます。
 
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上の図で点ＰとＱが進んだ角度を、それぞれ比例配分を利用して求めてみると、
 
・点Ｐ→１８０×３分の２＝１２０度
・点Ｑ→１８０×３分の１＝６０度
 
となります(実際はどちらかだけでＯＫ)。
 
点Ｐの速さは毎秒２４度なので、答え１２０÷２４＝５秒後です。
 
 
(２)
次の図のように点ＰとＱが初めてぶつかったときは、２つの点が進んだ角度の合計は３６０度になっているので、それを１：２に比例配分してみると、
 
・点Ｐが進んだ角度→３６０×３分の２＝２４０度
・点Ｑが進んだ角度→３６０×３分の１＝１２０度
 
となっています。














また、２つの点が１回目にぶつかった後の速さをそれぞれ確認してみると、
 
・点Ｐ→ぶつかる前の２分の１になるので、２４×２分の１＝毎秒１２度
・点Ｑ→ぶつかる前の３分の２になるので、１２×３分の２＝毎秒８度
 
となるので、点ＰとＱが進む速さの比は１２度：８度＝３：２に変わります。
 
次の図のように、２つの点が１回目にぶつかった地点から向きを変えて進み始め、２回目にぶつかるまでに進んだ角度の合計も３６０度なので、その間に点Ｐは３６０×５分の３＝２１６度進みました。
 
※　３６０度を５：３に比例配分。点Ｑの進んだ角度は必要ないので求めない。














つまり次の図のように、点Ｐは１回目にぶつかるまでにＡから左回りに２４０度進み、２回目にぶつかるまではその地点から右回りに２１６度進んだので、そのときの角ＰＯＡの大きさは２４０－２１６＝２４度になります(アにあてはまる数は２４)。









点Ｐの最初の速さは毎秒２４度なので、１回目にぶつかるまでにかかる時間は２４０÷２４＝１０秒です。
 
また、１回目にぶつかった後の点Ｐの速さは毎秒１２度なので、２回目にぶつかるまでにかかる時間は２１６÷１２＝１８秒です。
 
したがって、２つの点が２回目にぶつかったのは、スタートから１０＋１８＝２８秒後になります(イの答えは２８)。
 
 
(３)
さっきの問題で、点ＰがＡを出発してから２８秒後には、角ＰＯＡが２４度になっていることが分かりました。
 
したがって、次の図のようにもし点Ｒが２８秒でＢから１８０＋２４＝２０４度進むと点Ｐと出会ってしまうので、点Ｒの速さはそれよりも遅いはずです。
 
※　点Ｒは点Ｐと１回もすれ違ってはいけないから。














２８秒の単位を「分」に直すと２８÷６０＝１５分の７分間、そして２０４度は２０４÷３６０＝３０分の１７周なので、点Ｒは１分間に３０分の１７÷１５分の７＝１４分の１７周より遅く進むことが分かります(エの答えは１４分の１７)。
 
****** ここからはウの求め方の話に進みます ******
 
点Ｑは、点Ｐと１回目に出会うまでの１０秒間でＡから時計回りに１２０度進み、その後は反時計回りに進んで再び点Ｐと会います。
 
したがって、次の図のように最初の１０秒間で点ＲがＢから反時計周りに６０度以上進んで点Ｑとすれ違い、その後も点Ｒは同じ速度で反時計回りに進み続けていれば、向きを変えて進み始めた点Ｑにそのうち追い越されるので、点Ｒと点Ｑは２回出会うことができます。








つまり、点Ｒは１０秒間で反時計回りに６０度以上進めばＯＫなのですが、そのペースで６０秒間進んだときの角度は６０×６＝３６０度です。
 
したがって、点Ｒが点Ｑと２回出会うのは、点Ｒが１分間に３６０度＝１周よりも速く進んだときです(ウの答えは１)。
 
【補足】
 
(３)の問題文には「ＲがＱと２回すれ違う」と書いてあるんだけど、実際には１回目がすれ違い、そして２回目は追い越しです。
 
ただ、それを厳密に問題文へ反映させると文章がまどろっこしくなるので、問題製作者的には「細かいこと言わなくても『２回出会う』ぐらいの意味だってことは分かるだろ？それぐらいの空気は読んでくれよな！」と思ったのかもしれません。
 
まぁ、実際にこの問題の場面を頭の中でイメージすると、点Ｒと点Ｑが２回「すれ違う」なんてありえないことはすぐに分かると思います。