図１は、大小２つの正方形アとイがあり、それぞれの対角線は直線Ｌに重なっています。また、アとイの頂点は重なっています。
いま、大きい正方形アは動かさずに小さい正方形イだけを図１の位置から直線Ｌにそって、図２の位置まで一定の速さで動かします。図２では、アとイの頂点は重なっています。
小さい正方形イを動かすと、図３のように、２つの正方形が重なった部分に正方形ウができます。
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小さい正方形イが動いた時間と重なってできる正方形ウの対角線の長さが変わるようすをグラフに表しました。
(１)
小さい正方形イの速さは毎分何ｍですか。また、大きい正方形アと小さい正方形イの対角線の長さの比を最も簡単な整数で表しなさい。
(２)
小さい正方形イの面積を求めなさい。
(３)
重なってできる正方形ウの面積が９分の８㎠となるのは、動き始めてから何分何秒後と何分何秒後ですか。
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(１)
次のグラフの①から、正方形イが動き始めてから４分後、正方形ウの対角線(青と赤の点線)の長さはそれぞれ下の図のように２ｍになることが分かります。
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このとき、図の青い線は正方形イの上にある頂点が２分間で進んだ距離にあたるので、正方形イの進む速さは２÷４＝分速０.５ｍになります。
次はグラフの②～④の場面を、それぞれ図に表してみます。
上の図の②と③の青い矢印を合わせると、ちょうど大きい正方形アの対角線になります。
スタートから③の状態になるまでにかかった時間はグラフから８分間だと分かるので、大きい正方形アの対角線の長さは０.５×８＝４ｍになります。
また、上の図の④の青い矢印は小さい正方形イの対角線の長さを表しています。
この青い矢印を進むのにかかった時間は１２.５－８＝４.５分なので、イの対角線の長さは０.５×４.５＝２.２５ｍになります。
以上から、アとイの対角線の長さの比は、ア：イ＝４：２.２５＝１６：９になります。
(２)
さっきの問題で小さい正方形イの対角線の長さは２.２５ｍと分かったので、「対角線×対角線÷２＝正方形の面積」の公式を使って答えを求めます。
そのまま小数を使って面積を求めると、２.２５×２.２５÷２＝２.５３１２５㎡になりますが、次のように分数を使って計算した方がやりやすいと思います。
(３)
正方形ウの対角線を□ｍとおくと、□×□÷２＝９分の８㎡という式ができます。この式を次のように逆算して、□を求めることができます。
つまり、１回目にウの面積が９分の８㎡になるのはスタートしてから２分４０秒後だと分かったのですが、次のグラフのように、最後から２分４０秒前にも面積が９分の８㎡になる瞬間があります。
１２.５分は１２分３０秒なので、２回目は１２分３０秒－２分４０秒＝９分５０秒後になります。
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