次の図のように長方形ＡＢＣＤの辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ上にそれぞれ点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓをとります。さらに、四角形ＳＰＸＱとＳＱＹＲがともに平行四辺形となるように、点Ｘ、Ｙをとります。このとき、次の問いに答えなさい。
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(１) 四角形ＰＱＲＳの面積を求めなさい。
(２) 五角形ＳＰＸＹＲの面積を求めなさい。
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(１)
次の図の長方形ＡＢＣＤから、黄色い４個の三角形の面積を引くと、四角形ＰＱＲＳの面積が求められます。
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上の図の長方形ＡＢＣＤはたての長さが４＋１＝５㎝、横の長さが１＋５＝６㎝なので、その面積は５×６＝３０㎠です。
また、三角形ＡＰＳとＰＢＱの面積はどちらも１×４÷２＝２㎠、三角形ＲＱＣの面積は２×３÷２＝３㎠、そして三角形ＳＤＲの面積は５×２÷２＝５㎠なので、黄色い４個の三角形の面積の合計は２＋２＋３＋５＝１２㎠です。
したがって、四角形ＰＱＲＳの面積は３０－１２＝１８㎠になります。
(２)
次の図の台形ＡＢＱＳの面積は(１＋４)×５÷２＝１２.５㎠、三角形ＡＰＳとＰＢＱの面積はどちらも２㎠なので、三角形ＳＰＱの面積は１２.５－２×２＝８.５㎠です。
また、さっきの問題で四角形ＰＱＲＳの面積は１８㎠であることが分かったので、三角形ＳＱＲの面積は１８－８.５＝９.５㎠になります。
次の図の平行四辺形ＳＰＸＱは対角線ＰＱで面積が２等分されているので、三角形ＰＸＱの面積はＳＰＱと同じく８.５㎠です。
また、平行四辺形ＳＱＹＲも対角線ＱＲで面積が２等分されているので、三角形ＲＱＹの面積はＳＱＲと同じく９.５㎠です。
上の図の平行四辺形ＳＰＸＱは辺ＳＱとＰＸの長さが等しく平行、そして平行四辺形ＳＱＹＲは辺ＳＱとＲＹの長さが等しく平行なので、辺ＰＸとＲＹも長さが等しく平行であることが分かります。
したがって、次の図のように点ＰとＲを赤い直線で結ぶと、ＰＸＹＲは平行四辺形になります。
また、三角形ＰＸＱとＲＱＹの面積の合計は平行四辺形ＰＸＹＲの面積のちょうど半分にあたるので、ＰＸＹＲの面積は(８.５＋９.５)×２＝３６㎠です。
次の図の台形ＡＰＲＤの面積は(２＋４)×６÷２＝１８㎠、三角形ＡＰＳの面積は２㎠、そして三角形ＳＤＲの面積は５㎠なので、青い三角形ＳＰＲの面積は１８－(２＋５)＝１１㎠です。
五角形ＳＰＸＹＲの面積は、上の図の青い三角形ＳＰＲと平行四辺形ＰＸＹＲの面積を足せば求められるので、答えは１１＋３６＝４７㎠になります。
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