次の問いに答えなさい。ただし、円周率は３.１４とします。
(１)
次の図のように、大きな円の内側に、同じ大きさの６個の円がすきまなく並んでいます。また、点線は小さな円の中心を結んだ直線です。大きな円の半径が１５㎝のとき、次の問いに答えなさい。
① 小さな円の半径は何㎝ですか。
② 図の緑色の線の長さは何㎝ですか。
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(２)
次の図のように、大きな円の内側に、半径が２㎝の円が２８個すきまなく並んでいます。また、点線は小さな円の中心を結んだ直線です。このとき、図の緑色の線の長さは何㎝ですか。
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(１)の①
下の図の青い正六角形に対角線を３本引くと、その交点Ｏは正六角形と大きな円の中心になります。
また、青い正六角形は３本の対角線によって６個の正六角形に分かれているので、下の図の小さい円の半径の長さを①とおくと、辺ＯＤの長さは正六角形の一辺と同じく②と表すことができます。
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今度は次の図のように点Ｄから大きな円の円周上の点Ｇまでを赤い直線で結ぶと、辺ＤＧは小さな円の半径なので①と表せます。
このとき、大きな円の半径は下の図の辺ＯＧなので、その長さは②＋①＝③となります。
つまり、大きな円の半径である１５㎝は比の③、そして小さな円の半径は比の①にあたるので、小さな円の半径は１５÷３＝５㎝になります。
(１)の②
下の図の青い正六角形のひとつの内角は１８０×(６－２)÷６＝１２０度なので、緑色のおうぎ形Ａの中心角は３６０－１２０＝２４０度になります。
また、緑色のおうぎ形は全部で６個あるので、それらの中心角の合計は２４０×６＝１４４０度になります。
１４４０÷３６０＝４なので、緑色の曲線の長さの合計は半径５㎝の円４個分の円周と等しいことが分かります。
以上から、答えは５×２×３.１４×４＝１２５.６㎝になります。
(２)
次の図をパッと見た瞬間、「緑色の曲線は全部半円でしょ？それが２８個あるんだから、長さを求めるのなんてカンタンじゃん」と思ってしまうかもしれませんが、世の中そんなに甘くはありません(笑)
下の図の青い点は２８個の小さな円の中心を表しています。
それらをすべて直線で結ぶと、大きな円の内側には正二十八角形ができ、その内角の和は１８０×(２８－２)＝４６８０度になります。
上の図のオレンジ色は正二十八角形のひとつの内角を表しているので、その大きさは４６８０÷２８＝７分の１１７０度になります。
したがって、緑色のおうぎ形の中心角は３６０－(７分の１１７０)＝７分の１３５０度だと分かります。
つまり緑色の線の長さの合計は、半径２㎝(直径４㎝)で中心角の大きさが７分の１３５０度のおうぎ形の孤の長さ２８個分にあたることが分かります。
※ ここからは計算に分数がたくさん出てくるので、求め方を画像に変換します。
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ひとりごと
大きな円の中に小さな円が２８個内接してるとか・・・
しかも２８個全部に緑色の曲線で縁取りをくわえるなんて・・・
作図してるとき、あまりのややこしさに人生の無常感を覚えてしまいました(泣)
さらに中心角が分数ときましたか・・・
むー、そこまでやられたらもう泣くしかないお・・・
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