三角形ＡＢＣの辺ＢＣ上に点Ｐがあります。いま、ＡＰ上にＡＱ：ＱＰ＝３：５となるように点Ｑをとり、ＣＱ上にＣＲ：ＲＱ＝５：４となるように点Ｒをとって、三角形ＰＱＲをつくったところ、三角形ＡＢＣの面積は三角形ＰＱＲの面積の６倍になりました。ＢＣ＝８㎝のとき、ＢＰ＝
( )㎝です。
※ 画像はクリックすると拡大します。
※ 解説を見る場合は、下の『解説は』こちらからをクリック！
ＡＱ：ＱＰ＝３：５、ＣＲ：ＲＱ＝５：４という２つの比を三角形の底辺や高さだと考えて、ひとつひとつの三角形の面積を求めてみます。
例えば下の図の三角形ＰＱＲの場合、底辺をＱＰの５、高さをＱＲの４だと考えると、面積は５×４＝２０と表せます。
三角形の面積なのに「÷２」をしない理由については、この記事の下の方にある【補足】を参照してください。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
【三角形ＡＱＣの面積を求める】
下の図のように辺ＡＱや辺ＱＰが底辺となるように２つの三角形をならべてみると、三角形ＰＱＲの面積はさっき求めたように５×４＝２０、そして三角形ＡＱＣは底辺が３で高さが４＋５＝９なので、面積は３×９＝２７と表せます。
【三角形ＲＰＣの面積を求める】
下の図のように辺ＣＲや辺ＲＱが底辺となるように２つの三角形をならべてみると、三角形ＲＰＣは底辺が５で高さも５なので、面積は５×５＝２５となります。
【三角形ＡＢＰの面積を求める】
下の図の三角形ＡＰＣの面積は２７＋２０＋２５＝７２、そして三角形ＡＢＣの面積は三角形ＰＱＲの６倍なので２０×６＝１２０と表せます。
したがって、三角形ＡＢＰの面積は１２０－７２＝４８となります。
以上から、三角形ＡＢＣは下の図のように左右２つの三角形に分けられ、その面積比は三角形ＡＢＰ：三角形ＡＰＣ＝４８：７２＝２：３になっていることが分かります。
また、この２つの三角形は高さが等しいので、底辺である辺ＢＰと辺ＰＣの比も面積比と同じく２：３になっているはずです。
以上から、ＢＰの長さは８×５分の２＝３.２㎝になります(比例配分)。
【補足】
「三角形の面積を求めるのになんで÷２をしてないの？」と思ったあなた。試しにすべての三角形で÷２をしてみると次のような感じになります。
・三角形ＰＱＲの面積→５×４÷２＝１０
・三角形ＡＱＣの面積→３×９÷２＝１３.５
・三角形ＲＰＣの面積→５×５÷２＝１２.５
・三角形ＡＰＣの面積→１０＋１３.５＋１２.５＝３６
・三角形ＡＢＣの面積→１０×６＝６０
・三角形ＡＢＰの面積→６０－３６＝２４
以上から、三角形ＡＢＰと三角形ＡＰＣの面積比は２４：３６＝２：３となります。
つまり、「すべて÷２をした場合」と「すべて÷２をしなかった場合」では答えが結局同じになるので、めんどくさければいちいち÷２をしなくてもＯＫなのです。
PR
