次の図のような長方形ＡＢＣＤにおいて、三角形ＡＢＯの面積と三角形ＣＤＯの面積をたすと３００㎠、三角形ＢＣＯの面積から三角形ＤＡＯの面積を引くと６０㎠です。また、２点Ｍ、Ｎはそれぞれ辺ＡＢ、辺ＣＤの真ん中の点です。点ＳはＯＢとＭＮの交わった点です。このとき、次の問いに答えなさい。
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(１) 長方形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。
(２) 三角形ＢＣＯと三角形ＤＡＯの面積をそれぞれ求めなさい。
(３) ＯＳとＳＢの長さの比を、もっとも簡単な整数の比で表しなさい。
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(１)
次の図のように、辺ＡＤとＡＢに平行で点Ｏを通る赤い線を引いてみると、長方形ＡＢＣＤはア～クの８個の直角三角形に分けられます。
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上の図の三角形ＡＢＯの面積はア＋オ、三角形ＣＤＯの面積はエ＋クなので、ア＋オ＋エ＋クの面積は３００㎠です。
また、上の図のアとイ、ウとエ、オとカ、キとクの面積はそれぞれ等しいので、イ＋ウ＋カ＋キの面積も３００㎠です。
長方形ＡＢＣＤの面積はア～クの８個の三角形の面積を合計すれば求められるので、答えは３００×２＝６００㎠になります。
(２)
三角形ＢＣＯと三角形ＤＡＯの面積の合計(さっきの図のイ＋ウ＋カ＋キ)は３００㎠、そして三角形ＢＣＯの面積はＤＡＯよりも６０㎠大きいので、次のような和差算の線分図を利用することができます。
この線分図から、三角形ＢＣＯの面積は(３００＋６０)÷２＝１８０㎠、そして三角形ＤＡＯの面積は１８０－６０＝１２０㎠になります。
(３)
次の図のように、点ＳとＣを赤い直線で結んでみると、三角形ＳＢＣができます。
長方形ＡＢＣＤの面積は６００㎠、長方形ＭＢＣＮの面積は６００÷２＝３００㎠なので、三角形ＳＢＣの面積は３００÷２＝１５０㎠になります。
※ 長方形ＭＢＣＮの面積はＢＣ×ＣＮ、三角形ＳＢＣの面積はＢＣ×ＣＮ÷２なので、ＳＢＣの面積はＭＢＣＮの半分にあたる。
次の図の三角形ＢＣＯの面積は１８０㎠、ＳＢＣの面積は１５０㎠なので、ＳＣＯの面積は１８０－１５０＝３０㎠です。
また、三角形ＳＢＣとＳＣＯは高さが同じなので、面積比と底辺の比が等しいです。
三角形ＳＣＯとＳＢＣの面積比は３０㎠：１５０㎠＝１：５なので、ＯＳとＳＢの長さの比も１：５になります。
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