次の図のような底面が台形の四角柱の容器に、しきり板ＥＦＧＨが入っています。アの部分に、水面が容器の高さと同じになるまで水を入れてから、しきり板ＥＦＧＨを取り除いたら、水面の高さが容器の高さの３分の２になりました。ＡＥ：ＥＤ＝２：１、ＡＢ＝２０㎝、ＣＤ＝２８㎝のとき、ＢＦの長さとＦＣの長さの比を求めなさい。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック！
最初は仕切り板の左側だけが水で満たされていましたが、仕切り板を外した結果、左側にあった水の１－３分の２＝３分の１が右側へ移動したため、次の図のように水面の高さが３分の２でそろいました。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
つまり、上の図で「アの底面積×３分の１」と「イの底面積×３分の２」の体積が等しいので、アとイの底面積の比はア：イ＝３分の２：３分の１＝２：１になります。
※ 比の内項と外項の積が等しくなることを利用しました。
次の図は容器を真上から見た様子を表しています。
この容器の辺ＡＥとＥＤの長さの比は２：１であることが分かっているので、台形ＡＢＣＤの高さは２＋１＝３、そして台形ＡＢＣＤの面積は(２０＋２８)×３÷２＝７２と表せます。
上の図の底面アとイの面積比は２：１なので、台形ＡＢＣＤの面積である７２を２：１に比例配分すると、
・底面ア(四角形ＢＡＥＦ)の面積→７２×３分の２＝４８
・底面イ(四角形ＦＥＤＣ)の面積→７２×３分の１＝２４
となります。
次の図のように、頂点ＢとＥ、ＣとＥをそれぞれ直線で結ぶと、２つの直角三角形ＢＡＥとＣＥＤができ、ＢＡＥの面積は２×２０÷２＝２０、そしてＣＥＤの面積は１×２８÷２＝１４と表すことができます。
次の図の四角形ＢＡＥＦの面積は４８、直角三角形ＢＡＥの面積は２０なので、三角形ＢＥＦの面積は４８－２０＝２８となります。
また、四角形ＦＥＤＣの面積は２４、直角三角形ＣＥＤの面積は１４なので、三角形ＣＥＦの面積は２４－１４＝１０と表せます。
三角形ＢＥＦとＣＥＦを次の図のように比べてみると、この２つの三角形は高さが同じなので、底辺の長さの比と面積比が等しくなります。
上の図で青い矢印を２つの三角形の高さとすると、三角形ＢＥＦの底辺はＢＦ、ＣＥＦの底辺はＦＣとなります。
その２つの辺の長さの比が面積比と等しいので、ＢＦ：ＦＣ＝２８：１０＝１４：５になります。
PR
