気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のような長方形があり、各辺にある黒い点は、その辺をそれぞれ均等な長さに分ける点です。長方形の中に適当にとった点Ｐと、いくつかの黒い点を結んで図のようにいくつかの三角形を作るとき、色がぬられた部分の面積の合計は、長方形の何倍になるか求めなさい。
 
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長方形の内部は、次の図のように「４つの合同な青い三角形アイウエ」と「４つの合同な黄色い三角形オカキク」に分けることができます。
 
また、青色と黄色の三角形からそれぞれ２個ずつ選ぶと長方形の面積の半分になるので、「青い三角形イ＋ウ」と「黄色い三角形カ＋キ」の面積の合計、そして「青い三角形ア＋エ」と「黄色い三角形オ＋ク」の面積の合計はそれぞれ長方形の半分にあたります。
 
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次の図のように点Ｐから点ＥとＦへそれぞれ補助線を引くと、青い三角形ＰＡＢは面積の等しい３つの三角形に分割できます。
 
また、点Ｐから点ＨとＧへそれぞれ補助線を引くと、黄色い三角形ＰＣＤも面積の等しい３つの三角形に分割できます。
 
つまり、青い３つの三角形と黄色い３つの三角形からどれか１つずつを選ぶと、その面積の合計は「青い三角形ＰＡＢ＋黄色い三角形ＰＣＤ」の面積の合計の３分の１になります。















上の図の「青い三角形ＰＡＥ＋黄色い三角形ＰＧＨ」の面積は、「青い三角形ＰＡＢ＋黄色い三角形ＰＣＤ」の面積の３分の１、そして「青い三角形ＰＡＢ＋黄色い三角形ＰＣＤ」の面積は長方形の半分なので、「青い三角形ＰＡＥ＋黄色い三角形ＰＧＨ」の面積は、長方形の２分の１×３分の１＝６分の１にあたります。


次の図のように点Ｐから点Ｉ、Ｊ、Ｋへそれぞれ補助線を引くと、青い三角形ＰＡＤは面積の等しい４つの三角形に分割できます。
 
また、点Ｐから点Ｌ、Ｍ、Ｎへそれぞれ補助線を引くと、黄色い三角形ＰＢＣも面積の等しい４つの三角形に分割できます。
 
つまり、青い４つの三角形と黄色い４つの三角形からどれか１つずつを選ぶと、その面積の合計は「青い三角形ＰＡＤ＋黄色い三角形ＰＢＣ」の面積の合計の４分の１になります。















上の図の「青い三角形ＰＩＪ＋黄色い三角形ＰＭＮ」の面積は、「青い三角形ＰＡＤ＋黄色い三角形ＰＢＣ」の面積の４分の１、そして「青い三角形ＰＡＤ＋黄色い三角形ＰＢＣ」の面積は長方形の半分なので、「青い三角形ＰＩＪ＋黄色い三角形ＰＭＮ」の面積は、長方形の２分の１×４分の１＝８分の１にあたります。

つまり、次の図の三角形アとイの面積の合計は長方形の面積の６分の１、そして三角形ウとエの面積の合計は長方形の面積の８分の１にあたるので、４つの三角形の面積の合計は、長方形の６分の１＋８分の１＝２４分の７倍になります。