気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図の三角形ＡＢＣにおいて、ＢＤ：ＤＣ＝２：５、ＡＥ：ＥＣ＝３：２です。
 
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(１)
三角形ＰＡＢと三角形ＰＢＣと三角形ＰＣＡの面積比を、最も簡単な整数比で表すと(　　)：(　　)：(　　)です。
 
(２)
ＡＤの延長線上に点ＱをＢＱとＡＣが平行になるようにとるとき、三角形ＡＢＣと四角形ＰＢＱＣの面積比を、最も簡単な整数の比で表すと(　　)：(　　)です。
 
 
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(１)
次の図の三角形ＰＡＢとＰＢＣは、底辺をどちらもＢＰとすると高さの比がＡＥ：ＥＣ＝３：２なので、面積比もＰＡＢ：ＰＢＣ＝３：２と表せます。
 
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次の図の三角形ＰＡＢとＰＣＡは、底辺をどちらもＡＰとすると高さの比がＢＤ：ＤＣ＝２：５なので、面積比もＰＡＢ：ＰＣＡ＝２：５と表せます。













「ＰＡＢ：ＰＢＣ＝３：２」と「ＰＡＢ：ＰＣＡ＝２：５」を次のような連比の図に表し、ＰＡＢの比を２と３の最小公倍数である６にそろえてみると、
 
・ＰＡＢ：ＰＢＣ→３：２を２倍して６：４
・ＰＡＢ：ＰＣＡ→２：５を３倍して６：１５
 
となるので、三角形ＰＡＢとＰＢＣとＰＣＡの面積比は６：４：１５となります。









(２)
さっきの問題で、三角形ＰＡＢとＰＢＣとＰＣＡの面積比は６：４：１５となることが分かったので、次の図の三角形ＡＢＣの面積は比の６＋４＋１５＝２５と表せます。












次の図の辺ＢＱとＡＣは平行なので、三角形ＤＢＱとＤＣＡは８の字相似であり、対応する辺の長さの比はどの組み合わせも等しくなります。
 
この図の辺ＢＤとＤＣの長さの比は２：５なので、辺ＤＱとＡＤの長さの比も２：５になります。















次の図の三角形ＡＢＣとＱＢＣは、底辺をどちらもＢＣとすると、高さの比がＡＤ：ＤＱ＝５：２なので、面積比もＡＢＣ：ＱＢＣ＝５：２と表せます。
 
※　つまり、三角形ＡＢＣの面積はＱＢＣの５÷２＝２.５倍。
 
また、三角形ＡＢＣの面積は比の２５と表せることをさっき確認したので、ＱＢＣの面積は比の２５÷２.５＝１０となります。















四角形ＰＢＱＣは、次の図のように三角形ＰＢＣとＱＢＣに分けることができます。
 
また、三角形ＰＢＣの面積は比の４、ＱＢＣの面積は比の１０と表せるので、四角形ＰＢＱＣの面積は比の４＋１０＝１４となります。









つまり、三角形ＡＢＣの面積は比の２５、四角形ＰＢＱＣの面積は比の１４と表せるので、答えは２５：１４になります。