気まぐれ解説カフェ(仮)

底面が１辺１６㎝の正方形、高さが１㎝の直方体①があります。次の図のように、直方体①の上側の底面の各辺の真ん中の点を結んだ正方形を底面とする、高さ１㎝の直方体②を重ねます。同様にして、それぞれ高さ１㎝の直方体③、直方体④、・・・、直方体⑧までを重ねるとき、次の問いに答えなさい。
 
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(１)
直方体⑤の表面積と体積を、それぞれ求めなさい。
 
(２)
直方体①から直方体⑧までの体積の和を求めなさい。
 
(３)
直方体①から直方体⑧までを重ねた立体から、直方体⑧を取り除きます。次に直方体⑥を取り除き、直方体⑦をそのまま下ろして直方体⑤の上に重ねます。さらに、直方体④、直方体②も同様の方法で取り除きます。このようにして、直方体①から直方体⑧までを重ねた立体から、直方体②、直方体④、直方体⑥、直方体⑧を取り除いてできた立体の表面積を求めなさい。
 
 
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(１)
直方体①の底面は、次の図のように１辺１６㎝の正方形なので、底面積は１６×１６＝２５６㎠です。
 
また、直方体②→直方体③→直方体④と進むにつれて、底面積は半分に減っていくので、
 
・直方体②の底面積→２５６÷２＝１２８㎠
・直方体③の底面積→１２８÷２＝６４㎠
・直方体④の底面積→６４÷２＝３２㎠
 
となります。
 
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つまり、直方体⑤の底面積は３２÷２＝１６㎠であり、１６＝４×４なので、直方体⑤の底面は次の図のように１辺４㎝の正方形であることが分かります。
 
また、直方体の高さはすべて１㎝であることも分かっているので、直方体⑤の体積は１６×１＝１６㎤になります(答えの１つ目)。










直方体⑤を真上と真下から見たときの面積はどちらも１６㎠なので、その合計は１６×２＝３２㎠です。
 
また、直方体⑤の側面には、たて１㎝、横４㎝の長方形が４か所あるので、側面積の合計は１×４×４＝１６㎠です。
 
したがって、直方体⑤の表面積は３２＋１６＝４８㎠になります(答えの２つ目)。
 
 
(２)
さっきの問題で、直方体⑤の底面積は１６㎠であることが分かったので、ついでに直方体⑧の底面積までそれぞれ求めてみると、
 
・直方体⑥の底面積→１６÷２＝８㎠
・直方体⑦の底面積→８÷２＝４㎠
・直方体⑧の底面積→４÷２＝２㎠
 
となります。
 
つまり、直方体①から⑧までの底面積の合計は２５６＋１２８＋６４＋３２＋１６＋８＋４＋２＝５１０㎠であり、どの直方体も高さは１㎝なので、体積の合計は５１０×１＝５１０㎤になります。
 
 
(３)
直方体を積み上げた山から直方体②、④、⑥、⑧を取り除くので、残るのは直方体①、③、⑤、⑦の４つになります。
 
まずは残る４つの直方体について、底面の正方形の１辺の長さをそれぞれ確認してみると、
 
・直方体①の底面→問題文に「底面が１辺１６㎝の正方形」と書いてある。
・直方体③の底面→底面積は６４㎠。６４＝８×８なので、１辺の長さは８㎝。
・直方体⑤の底面→底面積は１６㎠。１６＝４×４なので、１辺の長さは４㎝。
・直方体⑦の底面→底面積は４㎠。４＝２×２なので、１辺の長さは２㎝。
 
となるので、その４つの立体が積み重なった図は次のようになります。







【立体を真上と真下から見たときの面積を求める】
 
４つの直方体が積み重なった様子を真上から見ると次のような図になるので、この立体を真上から見たときの面積は１６×１６＝２５６㎠になります。
 
また、この立体を真下から見たときの面積も２５６㎠なので、真上と真下から見える面積の合計は２５６×２＝５１２㎠になります。














【立体を側面から見たときの面積を求める】
 
４つの直方体が積み重なった様子を横から見ると、次の図のように４つの長方形が見えます。
 
この４つの長方形はどれもたての長さが１㎝で、横の長さの合計は２＋４＋８＋１６＝３０㎝なので、４つの長方形の面積は合わせて１×３０＝３０㎠です。
 
つまり、この立体を真正面、真後ろ、右側面、左側面から見たときの面積はどれも３０㎠なので、この立体の側面積の合計は３０×４＝１２０㎠です。









以上から、この立体を真上と真下から見た面積の合計は５１２㎠、そして側面積の合計は１２０㎠となることが分かったので、表面積は５１２＋１２０＝６３２㎠になります。