気まぐれ解説カフェ(仮)

身長が１６０㎝のＡさん、１５０㎝のＢさん、１４０㎝のＣさん、１３０㎝のＤさん、１２０㎝のＥさんがいます。そのうち何人かの人が縦に１列に並ぶ並び方について考えます。
 
たとえば、ＡさんとＣさんとＥさんの３人が次の図のような順番に並んだとき、この３人を前から見るとＣさんとＥさんはＡさんの後ろにかくれてしまい、Ａさんしか見えませんが、後ろから見ると３人とも見えます。
 
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図のような順番に並ぶことを「Ａ－Ｃ－Ｅ」と表すことにします。このとき、次の問いに答えなさい。
 
(１)
ＢさんとＣさんとＤさんの３人が縦に１列に並んだところ、前から見るとＢさんとＤさんの２人だけが見えました。このときの３人の並び方を答えなさい。
 
(２)
ＡさんとＢさんとＥさんの３人が縦に１列に並んだところ、前から見るとＡさんとＢさんの２人だけが見えました。このとき、考えられる３人の並び方をすべて答えなさい。
 
(３)
ＡさんとＢさんとＣさんの３人が縦に１列に並んだとき、前から見ると２人だけが見えるような並び方は全部で何通りありますか。
 
(４)
ＡさんとＢさんとＣさんとＤさんの４人が縦に１列に並んだとき、前から見ると２人だけが見えるような並び方は全部で何通りありますか。
 
(５)
５人全員が縦に１列に並んだとき、前から見ても後ろから見ても２人だけが見えるような並び方は、Ａさんが前から３番目にいる並び方が( ア )通り、それ以外の並び方が( イ )通りあります。空欄( ア )、( イ )にあてはまる数を答えなさい。
 
 
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(１)
３人の中でいちばん身長の高いＢさんはどの位置にいても見えるので、前から見たときにＤさんも見えるようにするには、次の図のようにＤさんをＢさんよりも前に立たせればＯＫです。
 
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上の図でＣさんをＤさんとＢさんの間に立たせると、前から見たときに３人とも見えてしまうのでアウトです。
 
また、ＣさんをＤさんの前に立たせると、Ｄさんは２人のかげに入って見えなくなり、前から見たときにＣさんとＢさんの２人が見えることになるのでダメです。
 
したがって、ＤさんとＢさんの２人だけが見えるときの並び方は「Ｄ－Ｂ－Ｃ」となります。
 
 
(２)
３人の中でいちばん身長の高いＡさんはどの位置にいても見えるので、前から見たときにＢさんも見えるようにするには、ＢさんをＡさんよりも前に立たせればＯＫです。
 
また、Ｅさんは３人の中でいちばん身長が低いので、次の図のア(ＢさんとＡさんの間)またはイ(Ａさんの後ろ)に立たせれば、前から見えることはありません。










したがって、前から見たときにＡさんとＢさんの２人だけが見える並び方は、「Ｂ－Ｅ－Ａ」と「Ｂ－Ａ－Ｅ」の２通りになります。
 
 
(３)
３人の中でいちばん身長の高いＡさんは必ず見えるので、前から見たときに見える２人の組み合わせは「ＢさんとＡさん」または「ＣさんとＡさん」のどちらかになります。
 
【前からＢさんとＡさんの２人だけが見えるとき】
 
Ｃさんは３人の中でいちばん身長が低いので、次の図のア(ＢさんとＡさんの間)またはイ(Ａさんの後ろ)に立たせれば、前から見えることはありません。
 
※　さっきの問題とまったく同じ状況ですね。
 
したがって、前からＢさんとＡさんの２人だけが見えるときの３人の並び方は「Ｂ－Ｃ－Ａ」と「Ｂ－Ａ－Ｃ」の２通りあります。










【前からＣさんとＡさんの２人だけが見えるとき】
 
ＢさんはＣさんよりも身長が高いので、次の図のア(ＣさんとＡさんの間)の位置にＢさんを立たせると、前から見たときに「Ｃ－Ｂ－Ａ」の順で３人とも見えてしまいます。
 
したがって、前からＣさんとＡさんの２人だけが見えるときの３人の並び方は「Ｃ－Ａ－Ｂ」の１通りだけしかありません。











つまり、３人の中で２人だけが見えるのは、ＢさんとＡさんだけ見える場合が２通り、そしてＣさんとＡさんだけ見える場合が１通りなので、全部で２＋１＝３通りになります。
 
 
(４)
４人の中でいちばん身長の高いＡさんはどこにいても必ず見えるので、前から見たときに見える２人の組み合わせは「ＢさんとＡさん」、「ＣさんとＡさん」、「ＤさんとＡさん」のどれかになります。
 
【前からＢさんとＡさんの２人だけが見えるとき】
 
ＣさんとＤさんの２人はＢさんよりも身長が低いので、次の図のア(ＢさんとＡさんの間)またはイ(Ａさんの後ろ)に２人を立たせれば、ＣさんとＤさんが前から見えることはありません。







上の図で、ＣさんとＤさんの２人がアまたはイに立つ方法は、
 
・アに「Ｃ－Ｄ」の順で立つ
・アに「Ｄ－Ｃ」の順で立つ
・アにＣさんが、イにＤさんが立つ
・アにＤさんが、イにＣさんが立つ
 
の４通りあるので、前からＢさんとＡさんの２人だけが見える４人の並び方は全部で４通りです。
 
 
【前からＣさんとＡさんの２人だけが見えるとき】
 
ＢさんはＣさんよりも身長が高いので、次の図のア(ＣさんとＡさんの間)にＢさんを立たせると前から３人が見えてしまいます。
 
したがって、Ｂさんは必ずイの位置へ立たせる必要がありますが、４人の中でいちばん身長が低いＤさんはアまたはイのどちらでもＯＫです。







上の図で、ＢさんとＤさんの２人がアまたはイに立つ方法は、
 
・イに「Ｂ－Ｄ」の順で立つ
・イに「Ｄ－Ｂ」の順で立つ
・アにＤさんが、イにＢさんが立つ
 
の３通りあるので、前からＣさんとＡさんの２人だけが見える４人の並び方は全部で３通りです。
 
 
【前からＤさんとＡさんの２人だけが見えるとき】
 
Ｄさんは４人の中でいちばん身長が低いので、次の図のア(ＤさんとＡさんの間)にＢさんやＣさんを立たせると、前から３人または４人が見えてしまいます。
 
つまり、ＢさんとＣさんは２人ともイの位置に立つのですが、その立ち方は「Ｂ－Ｃ」と「Ｃ－Ｂ」の２通りしかないので、前からＤさんとＡさんの２人だけが見える４人の並び方は全部で２通りになります。







つまり、４人並んだときに前から２人だけが見える並び方は、
 
・ＢさんとＡさんだけが見える→６通り
・ＣさんとＡさんだけが見える→３通り
・ＤさんとＡさんだけが見える→２通り
 
となることが分かったので、答えは６＋３＋２＝１１通りになります。
 
 
(５)のア
Ａさんは５人の中でいちばん身長が高いので、前と後ろのどちらから見ても必ず見えます。
 
したがって、次の図のようにＡさんが前から３番目(つまり５人の真ん中)に立っているときに、前と後ろのどちらから見ても２人が見えるのは、
 
・前から→図のアにいる人がイより高いので、前から見るとアにいる人とＡさんが見える。
・後ろから→図のエにいる人がウより高いので、後ろから見るとエにいる人とＡさんが見える。
 
という状態になったときです。







たとえば上の図のアにＢさんが立ったとき、イの位置に立てるのはＣさん、Ｄさん、Ｅさんの３人のうちの誰かです。
 
また、アとイに立つ人がそれぞれ決まれば、残りの２人のうちで身長の高い人がエ、低い人がウに立つことが自動的に決まります。
 
つまり、上の図のアにＢさんが立った場合の並び順は、「イの位置に立つのはＣさん、Ｄさん、Ｅさんのうちの誰か」が確定すればすべて決まるので３通りになります。
 
もし上の図のアにＣさんが立つのであれば、イの位置に立てるのはＤさんかＥさんのどちらか、そして残った２人のうちで身長の高い人(というかＢさん)がエ、低い人がウに立ちます。
 
つまり、上の図のアにＣさんが立った場合の並び順の決め方は、「イの位置に立つのはＤさん、Ｅさんのどちらなのか」が確定すればすべて決まるので２通りになります。
 
もし上の図のアにＤさんが立つのであれば、イの位置に立てるのはＥさんだけ、そして残った２人のうちで身長の高いＢさんがエ、低いＣさんがウに立ちます。
 
つまり、上の図のアにＤさんが立った場合の並び順は「Ｄ－Ｅ－Ａ－Ｃ－Ｂ」しかないので１通りです。
 
以上から、Ａさんが５人の真ん中にいるとき、上の図のアにＢさんが立った場合の並び方は３通り、Ｃさんが立った場合は２通り、そしてＤさんが立った場合は１通りとなることが分かったので、答えは３＋２＋１＝６通りになります。
 
 
(５)のイ
次の図のように、身長のいちばん高いＡさんが前から２番目に立っている場合、残り４人のうちの誰がアの位置に立っていても、前から見るとアに立つ人とＡさんの２人が必ず見えます。
 
また、残り３人のうちでいちばん身長の高い人をエの位置にして、最後に残った身長の低い２人をイとウの好きな方に立たせれば、後ろから見たときにエの人とＡさんの２人が見えます。






上の図のアに立つ人の決め方は４人のうち誰でもＯＫなので４通り、エに立つ人は残った３人の中でいちばん身長の高い人なので１通り、そして最後に残った身長の低い２人は「イとウ」または「ウとイ」のどちらかの順に立つので２通りです。
 
したがって、上の図のようにＡさんが前から２番目にいるとき、前と後ろのどちらからでも２人が見えるような並び方は４×１×２＝８通りになります。
 
また、Ａさんが前から４番目(つまり後ろから２番目)にいる場合でも同じように８通りできる(上の図を左右逆にしただけ)ので、並び方は全部で８×２＝１６通りになります。