図１のようなコマの上の面に色をぬります。コマの上の面は図２のように円が５つの同じ形のおうぎ形に分けられています。５つのおうぎ形それぞれに赤か青の色を必ずぬるとき、コマの模様は何通りできるか求めなさい。ただし、５つとも同じ色でぬる場合は除きます。
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まずは次の図のように、色をぬる５か所にＡからＥまでの名前をつけておきます。
下の図の５か所を赤と青の２色でぬり分けるのですが、とりあえず赤色を基準にしてぬり分け方が何通りあるのかを考えていきます。
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【１か所だけ赤くぬる場合】
１か所だけ赤くぬる場合、その場所はＡからＥまでの５か所から選べるので、次の図のように全部で５通りになります。
・・・なんて考えてしまうと、この問題は永遠に解けません。
上の５つの図は、１か所だけ赤くぬった円がコロコロと転がっているだけなので、もとはすべて同じ模様です。
したがって、１か所だけ赤くぬる方法は１通りしかありません。
【２か所を赤くぬる場合】
２か所を赤くぬる場合は、次の図のように「となりどうしを赤くぬるＡＢ型」と「１マスあけて赤くぬるＡＣ型」と「２マスあけて赤くぬるＡＤ型」の３通りが考えられます。
ただし、ＡＤ型はＡＣ型をクルッと回転させただけなので、２か所を赤くぬる方法は全部で２通りになります。
【３か所を赤くぬる場合】
３か所を赤くぬる場合は次の図の「ＡＢＣ型」と「ＡＢＤ型」と「ＡＣＤ型」の３通りが考えられますが、ＡＢＤ型とＡＣＤ型は回転させただけの同じ模様なので、さっきと同じように２通りになります。
【４か所を赤くぬる場合】
４か所を赤くぬるためには、５か所のうちのどれか１つを青くぬればＯＫなので全部で５通りです、と言いたいところですが、やはりこれも下の図のように同じ模様の図形がコロコロと回転しているだけなので、１通りと数えなければいけません。
以上から、５か所を赤色でぬり分ける方法は全部で１＋２＋２＋１＝６通りになります。
ちなみに、この後で「５か所を青色でぬり分ける方法も同じように６通りあるはずだから、答えは全部で６×２＝１２通りになるのかな？」と考えてしまうのは残念ながら失敗です。
なぜなら、
・１か所を赤色にする方法を数えた→４か所を青色にする方法も数えたことになる
・２か所を赤色にする方法は数えた→３か所を青色にする方法も数えたことになる
・３か所を赤色にする方法は数えた→２か所を青色にする方法も数えたことになる
・４か所を赤色にする方法は数えた→１か所を青色にする方法も数えたことになる
という流れになっているので、「赤色でぬり分ける方法」をすべて確認した時点で、すでに「青色でぬり分ける方法」も数え終わっているからです。
したがって、５か所を赤色と青色でぬり分ける方法は全部で６通りになります。
【補足】
２か所を赤色でぬり分ける方法が２通りなら、３か所の場合も同じく２通りになることが分かれば、もう少しスムーズに解くことができます。
２か所を赤くぬる方法が２通りなら、２か所を青くぬる方法も２通りのはずですね。
２か所が青なら残りの３か所は赤色になるので、３か所を赤くぬる方法は考えるまでもなく２通りになります。
同じように、１か所を赤色にする方法と４か所を赤色にする方法もどちらか一方を確認すればＯＫです。
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