階段を１段ずつと２段ずつ混ぜて上がるのぼり方を調べます、例えば３段の階段の場合、のぼり方は(１段＋１段＋１段)、(１段＋２段)、(２段＋１段)の３通りになります。
階段が８段のとき、のぼり方は何通りですか。
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１段と２段の組み合わせで８段を作るには、大きく分けて次の５通りが考えられます。
① １段ずつ８回
② １段を２回＋２段を３回
③ １段を４回＋２段を２回
④ １段を６回＋２段を１回
⑤ ２段ずつ４回
このうち①と⑤がそれぞれ１通りしかないことはすぐ分かるのですが、残りの②～④がそれぞれ何通りあるのかはていねいに数えていく必要があります。
② 「１段を２回＋２段を３回」の数え方
次の図のように、まずは「２段」を３つならべてみると、残りの「１段」２つをあてはめることができる場所は青いＡからＤの４か所になります。
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例えば上の図のＡとＢに「１段」をそれぞれ１個ずつあてはめてみると、「ぴょん→ぴょーん→ぴょん→ぴょーん→ぴょーん」という感じです(笑)
あるいは上の図のＡに「１段」を２つともあてはめて「ぴょん→ぴょん→ぴょーん→ぴょーん→ぴょーん」とのぼってもＯＫです。
というわけで、この場合に「１段」２つのあてはめ方が何通りあるのかを考えてみると・・・
・一方の「１段」をＡにする場合→残りの「１段」はＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄのどこか
・一方の「１段」をＢにする場合→残りの「１段」はＢ、Ｃ、Ｄのどこか
・一方の「１段」をＣにする場合→残りの「１段」はＣ、Ｄのどちらか
・一方の「１段」をＤにする場合→残りの「１段」もＤにあてはめる
つまり、「１段を２回＋２段を３回」の組み合わせは全部で４＋３＋２＋１＝１０通りになります。
③ 「１段を４回＋２段を２回」の数え方
今度は次の図のように、まずは「１段」を４つならべてから、残りの「２段」２つのあてはめ方を考えていきます。
さっきと同じように、上の図のＡからＥのどこかに「２段」を２つあてはめます。もちろん同じ場所に「２段」を２つあてはめてもＯＫです。
・一方の「２段」をＡにする場合→残りの「２段」はＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅのどこか
・一方の「２段」をＢにする場合→残りの「２段」はＢ、Ｃ、Ｄ、Ｅのどこか
・一方の「２段」をＣにする場合→残りの「２段」はＣ、Ｄ、Ｅのどこか
・一方の「２段」をＤにする場合→残りの「２段」はＤ、Ｅのどちらか
・一方の「２段」をＥにする場合→残りの「２段」もＥにあてはめる
つまり、「１段を４回＋２段を２回」の組み合わせは全部で５＋４＋３＋２＋１＝１５通りになります。
④ 「１段を６回＋２段を１回」の数え方
まずは次の図のように「１段」を６個ならべてみると、残りの「２段」ひとつがあてはまる場所は、図のＡからＧまでの７か所のうちのどれかになります。
つまり、「１段を６回＋２段を１回」の組み合わせは全部で７通りになります。
これまでに分かった①から⑤までのすべての組み合わせを合計すると、１＋１０＋１５＋７＋１＝３４通りになります。
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