整数Ａを整数Ｂで割ったときの余りをＡ☆Ｂと表すことにします。例えば、１５を６で割ったときの余りは３なので１５☆６＝３です。このとき、次の問いに答えなさい。
(１)
２０１０☆２２はいくつですか。
(２)
( )☆７＝３のとき、( )にあてはまる整数のうち、１２０以上１５０以下の整数を小さい方から順にすべて答えなさい。
(３)
次の空らん( ア )、( イ )、( ウ )にあてはまる整数を答えなさい。
２５７☆( )＝５のとき、( )にあてはまる整数のうち、最も大きい整数は( ア )で、最も小さい整数は( イ )です。また、( )にあてはまる整数は全部で( ウ )個あります。
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(１)
問題文のルールがちゃんと分かっているのかどうかを確かめるための問題です。
「２０１０☆２２」は２０１０を２２で割ったときの余りを表しています。
実際に計算してみると２０１０÷２２＝９１余り８になるので、答えは８になります。
(２)
( )には「７で割ると３余る整数」があてはまります。
７の倍数だと７で割り切れてしまうので、それに３を足せば割り算したときに３余る整数になります。
つまり、求めるのは「７の倍数＋３」の答えのうち、１２０以上１５０以下の整数です。
１２０÷７＝約１７.１なので、とりあえず７を１７倍してみると７×１７＝１１９になります。
それに３を足してやれば１１９＋３＝１２２となり、１２０以上１５０以下の範囲に入ってきます。
そこからは１５０を超える手前までどんどん７を足してやればＯＫなので、答えは１２２、１２９、１３６、１４３、１５０になります。
(３)
( )には２５７を割ると５余る整数があてはまります。
「２５７で割ると５余る」ということは、「２５７－５＝２５２ならちょうど割り切れる」という意味でもあるので、( )には２５２の約数があてはまります。
かけ算の答えが２５２になる組み合わせを書き出してみると、次の図のようになります。
※ 画像はクリックすると拡大します。
上の図の１から２５２までの１８個の数字は、すべて２５２の約数です。
ただし、その中でも１から４までの４個の数字は、２５７を割ったときの余りである５よりも小さい数なので、答えとしては不適切です。
以上から、条件にあてはまる中で最も大きい整数( ア )は２５２、最も小さい整数( イ )は６、そしてあてはまる整数の個数( ウ )は１８－４＝１４個になります。
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