６０分間まで録音できるＣＤがあります。このＣＤに曲の長さが３分と４分の曲をあわせて何曲か録音します。そのとき、最初の曲の前に５秒、次からは曲と曲の間に５秒の間を空けます。
(１)
このＣＤに３分と４分の曲を合わせて１３曲録音し、４８分５秒間のＣＤを作りました。このとき、３分の曲は何曲録音されましたか。
(２)
このＣＤに３分と４分の曲をあわせてできるだけ多く録音しました。すると、最後の曲の後に録音できる時間がもっとも短くなりました。このとき、最後の曲の後に録音できる時間は何秒間ですか。
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(１)
最後の曲の後に５秒のすきまは必要ないので、５秒のすき間の数は曲の数と同じです。
録音したのは１３曲→５秒のすきまも１３か所。
その１３か所の時間の合計は、５×１３＝６５秒＝１分５秒間
録音時間の合計である４８分５秒からすきまの合計時間をのぞくと、
４８分５秒－１分５秒＝４７分間→１３曲の合計時間
３分間の曲数を求めるので、まずは１３曲全部が４分の曲だったらと仮定してみると、
そのときの合計時間は、４×１３＝５２分間
つるかめ算の公式を利用して３分の曲数を求めると、
(５２－４７)÷(４－３)＝５曲となります。
(２)
なるべく曲数を多くするには、１曲あたりの時間が短い３分の曲数を増やします。
６０分間をすべて３分間の曲にする場合、６０÷３＝２０曲
ただ、この場合は５秒のすきまがひとつも作れないので、
最大で２０－１＝１９曲まで。
３分の曲を１９曲録音する場合、５秒のすきまもあわせた時間の合計は、
３×１９＝５７分 ５×１９＝９５秒＝１分３５秒
５７分＋１分３５秒＝５８分３５秒
ＣＤの録音時間は最大で６０分間なので、残りの時間は、
６０分－５８分３５秒＝１分２５秒
その残り時間をなるべく短くするために、３分の曲を減らして４分の曲と入れかえてみます。
３分の曲を１つへらして、４分の曲を１つ増やすと、曲の録音時間が４－３＝１分長くなります。
また、そのとき最後の残り時間は逆に１分短くなり、１分２５秒－１分＝２５秒となります。
残り２５秒では、３分の曲と４分の曲をもう１回入れかえることができません。
以上から、最後の曲の後に残っている録音時間は２５秒になります。
※ ３分の曲が１９曲、４分の曲が１曲のとき。
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