いつも一定の量の水がわき出る井戸があります。この井戸の水を同じ性能のポンプでくみ出します。５台のポンプで２０分間くみ出すと井戸の水は最初にあった量のちょうど半分になり、続いて３台のポンプだけで４０分間くみ出すと井戸は空になります。はじめから６台のポンプでくみ出すと何分で井戸は空になりますか。
【補足】
これは入試問題ではなく、掲示板「インターエデュ」で取り上げられていたものです。
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まずはポンプ１台が１分間にくみ出す水の量を①とおき、 ２０分間と４０分間でくみ出した水の量の割合をそれぞれ求めてみます。
５台のポンプで２０分間くみ出したときの水の量は①×５台×２０分＝１００と表せます。
その量は「最初から井戸にたまっていた水の半分」と「２０分間にわき出た水の量」なので、 「井戸の半分」＋「わき出た２０分」＝１００となります。・・・式１
３台のポンプで４０分間くみ出したときの水の量は①×３×４０＝１２０と表せます。
その量は「最初から井戸にたまっていた水の残り半分」と「４０分間にわき出た水の量」なので、 「井戸の半分」＋「わき出た４０分」＝１２０と表せます。・・・式２
この２つの式を、次の図のように消去算っぽく計算してみると、１２０－１００＝２０が、４０－２０＝２０分間でわき出た水の量にあたることが分かります。
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２０分間でわき出た水の量が⑳なら、１分間にわき出る水の量は⑳÷２０＝①となります。
※ ポンプ１台が１分間にくみ出す水の量と１分間にわき出る水の量が同じ。
ここで再び式１に戻ってみると、次の図の「わき出た２０分」の量は２０なので、「井戸の半分」は１００－２０＝８０、そして最初から井戸にたまっていた水の量は８０×２＝１６０と表せます。
ここからは「役割分担」の発想を利用します。
６台のポンプが１分間でくみ出す水の量は、①×６＝⑥と表せます。
次の図のように、その能力のうちの①は１分間に①ずつわき出る水をくみ出すために使い、残りの⑥－①＝⑤は最初から井戸にたまっていた１６０をくみ出すために利用します。
すると、わき出る水はいつでも回収できているので、あとは最初から井戸にたまっていた１６０の水をすべてくみ出した瞬間に井戸は空になります。
以上から、ポンプ６台で井戸を空にするためにかかる時間は１６０÷⑤＝３２分間になります。
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