西山動物園では、開門時に長い行列ができていて、さらに、一定の割合で入園希望者が行列に加わっていきます。開門と同時に、券売機を５台使うと２０分で行列がなくなり、開門と同時に、券売機を６台使うと１５分で行列がなくなります。また、もし開門のときの行列の人数が５０人少なかったとすると、開門と同時に、券売機を７台使えば１０分で行列がなくなります。
(１) 開門のとき、行列の人数は何人でしたか。
(２) 開門と同時に、券売機を１０台使うと何分で行列はなくなりますか。
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(１)
券売機１台が１分間に対応できる人数を「１」とおくと、
・券売機５台を２０分間使ったとき→１×５×２０＝１００
・券売機６台を１５分間使ったとき→１×６×１５＝９０
となるので、「最初に並んでいた人数」と「２０分間で並んだ人数」の合計は１００、そして「最初に並んでいた人数」と「１５分間で並んだ人数」の合計は９０と表せます(次の図参照)。
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上の図の「最初に並んでいた人数」はどちらも同じなので、開園後の２０－１５＝５分間で並んだ人数の割合は１００－９０＝１０、そして１分間に並ぶ人数の割合は１０÷５＝２となります。
１分間に並ぶ人数の割合が２なので、次の図の「２０分間で並んだ人数」は２×２０＝４０、そして「最初に並んでいた人数」は１００－４０＝６０となります。
また、券売機７台を１０分間使ったときは７×１０＝７０なので、次の図のように「最初に並んでいた人数」から５０人を引き、それに「１０分間で並んだ人数」をたすと７０になります。
上の図の「最初に並んでいた人数」の割合は６０、「１０分間で並んだ人数」の割合は２×１０＝２０なので、「５０人」の割合は６０＋２０－７０＝１０となることが分かります。
比の１０が５０人なら、比の１は５０÷１０＝５人なので、最初に並んでいた人数は５×６０＝３００人になります。
※ 「１分間に並ぶ人数」の割合は２なので、行列は１分間に５×２＝１０人ずつ増えることも分かります。
(２)
この券売機は１台で１分間に５人ずつ対応できるので、１０台使うと１分間に５×１０＝５０人ずつ入場させることができます。
開園前から並んでいたのは３００人、そして行列は１分間に１０人ずつ増えるので、次の図のように５０人分の対応能力を、
・１０人分→１分間に１０人ずつ増える行列に対応させる
・残りの４０人分→開園前から並んでいた３００人に対応させる
という形で役割分担すれば、開園前から並んでいた３００人が全員入場した瞬間に、すべての行列がなくなります。
以上から、行列がなくなるのは３００÷４０＝７.５分後になります。
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