下の図のように、底面が正方形でふたのない直方体の容器が大小２つあります。大きい容器の中に小さい容器が図のように固定されています。小さい容器の高さは１００㎝です。大きい容器の高さは３００㎝で、底面の一辺の高さは８０㎝です。
いま、水道管Ａから毎分１０リットルの割合で水を入れ始めました。底から２００㎝のところまで水がたまったとき、排水管Ｂを開き毎分一定の量の水を出しました。グラフは、水を入れ始めてからの水面の高さの変化を表したものです。ただし、容器の厚さは考えないものとします。次の問いに答えなさい。
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(１) 小さい容器の底面の正方形の一辺の長さを求めなさい。
(２) 排水管Ｂから出てゆく水の量は毎分何リットルか求めなさい。
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(１)
まずは水面の高さを表すグラフを次のように色分けして、それぞれの色のときに容器の中がどのようになっているのかを確認してみます。
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・青色のとき→下の図のアとウに水が入る。
・黄色のとき→アとウからあふれた水がイに入る。
・緑色のとき→エに水が入る。エの容積はアイウの容積と等しい。
・ピンク色のとき→オに水が入りつつ、容器の下の排水管から水が出ていく。
まずは水道管Ａから入る水の量の単位を㎤に直しておくと、１リットルは１０００㎤なので、１０リットルは１００００㎤になります。
グラフの青色のときに入った水の量は１００００×６０＝６０００００㎤なので、スタートから６０分後には容器のアとウに深さ１００㎝まで水が入りました。
また、容器のアとイとウの容積の合計は８０×８０×１００＝６４００００㎤なので、６４００００－６０００００＝４００００㎤がイの容積になります。
次の図のように、小さな直方体イの底面の一辺の長さを□㎝とおくと、容積を求める式は□×□×１００＝４００００㎤と表せます。
□×□の答えは４００００÷１００＝４００、４００＝２０×２０なので、小さな直方体の底面の一辺は２０㎝になります。
(２)
下の図のアとウを水で満たすのに６０分、イ(４００００㎤＝４０リットル)を水で満たすのに４０÷１０＝４分かかるので、アとイとウを水で満たすのにかかる時間は６０＋４＝６４分です。
また、下の図のエはアとイとウの容積の合計と等しいので、水で満たすのにやはり６４分かかります。
そして、水面の高さが３００㎝になるのにかかる時間は２０８分(グラフから読み取れます)なので、下の図のオを満たすのにかかる時間と排水管Ｂから水が出ていった時間の合計は、２０８－６４×２＝８０分になります。
上の図のオを満たすのに必要な水の量は「アイウ」や「エ」と同じく６４０リットル、水道管Ａから８０分間に入る水の量は１０×８０＝８００リットルなので、排水管Ｂから８０分間に出た水の量は８００－６４０＝１６０リットルだと分かります。
したがって、排水管Ｂから１分間に出る水の量は、１６０÷８０＝２リットルになります。
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