１辺が１０㎝の正方形の各辺を３等分する点をとり、図のように線で結びました。次の問いに答えなさい。
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(１) 三角形ＡＢＥの面積はアの何倍ですか。
(２) イはアの何倍ですか。
(３) イの面積は何㎠ですか。
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(１)
次の図の辺ＩＤと辺ＢＪは平行なので、角ＡＩＨと角ＡＢＥ(緑色の角)、角ＡＨＩと角ＡＥＢ(赤色の角)はそれぞれ同じ大きさになっています(どちらもいわゆる同位角)。
また、辺ＡＩの長さを①とおくと、辺ＡＢの長さはその３倍なので③と表せます。
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上の図の青い三角形アと三角形ＡＢＥを分解して次のように並べてみると、この２つの三角形は３つの内角の大きさがすべて等しいので相似になっていることが分かります。
また、長さの比は三角形ア：三角形ＡＢＥ＝１：３なので、面積の比は三角形ア：三角形ＡＢＥ＝１×１：３×３＝１：９になります。
したがって、三角形ＡＢＥの面積は三角形アの９÷１＝９倍になります。
(２)
さっきの問題でアの面積を①とおくと三角形ＡＢＥの面積は⑨と表せることが分かったので、それを利用してイの面積がいくつにあたるのかを求めてみます。
次の図を少しだけ左側に首を傾けて見ながら、三角形ＡＢＥと正方形イの面積を比べてみると・・・
・三角形ＡＢＥ→底辺ＢＥの長さは１、高さ(赤い矢印)は３なので、面積は１×３÷２＝１.５
・正方形イ→底辺ＥＦの長さは２、高さも２なので、面積は２×２＝４
となるので、イの面積は三角形ＡＢＥの４÷１.５＝３分の８倍になります。
三角形ＡＢＥの面積は三角形アの９倍、そしてイの面積は三角形ＡＢＥの３分の８倍なので、次の図のようにイはアの９×３分の８＝２４倍になります。
(３)
さっきの問題で、三角形アの面積を１とおくと三角形ＡＢＥの面積は９、そして正方形イの面積は２４と表せることが分かりました。
次の図のように、正方形ＡＢＣＤの中身は緑色の三角形４つと正方形イでできているので、その面積の割合は９×４＋２４＝６０と表すことができます。
つまり比の６０が正方形ＡＢＣＤの面積である１０×１０＝１００㎠にあたるので、イの面積を□㎠とおくと、６０：２４＝５：２＝１００㎠：□㎠という式ができます。
したがって、イの面積は２×１００÷５＝４０㎠になります。
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