次の図１のような容器があります。この容器の２つの面は直角二等辺三角形と正方形を組み合わせた形で、他の面はすべて長方形です。この中に、深さが６分の５になるまで水を入れました。
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(１)
水の体積を求めなさい。
(２)
図２のように容器を倒したとき、こぼれ出た水の体積を求めなさい。
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(１)
この容器を真正面から見ると、三角形ＡＩＦは直角二等辺三角形なので、角ＨＡＢとＧＦＥはどちらも４５度です。
また、角ＡＨＢとＦＧＥは直角、角ＡＢＨとＦＥＧは１８０－(４５＋９０)＝４５度なので、三角形ＡＢＨとＦＥＧはどちらも直角二等辺三角形です。
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上の図の辺ＨＧはＣＤと同じく８㎝、辺ＡＦは１６㎝なので、辺ＡＨとＧＦの長さはどちらも(１６－８)÷２＝４㎝です。
また、三角形ＡＢＨとＦＥＧはどちらも直角二等辺三角形であり、辺ＡＨとＨＢ、辺ＧＦとＧＥの長さはそれぞれ等しいので、辺ＨＢとＧＥの長さも４㎝です。
つまり次の図のように、容器全体の高さはＨＢ＋ＢＣ＝４＋８＝１２㎝、そして水面の高さは容器全体の６分の５なので１２×６分の５＝１０㎝になります。
次の図のように、水面の高さは底面から１０㎝なので、水面から容器のてっぺんまでは１２－１０＝２㎝です。
つまり、下の図の辺ＨＬとＧＭは２㎝、辺ＨＢとＧＥは４㎝なので、辺ＬＢとＭＥはどちらも４－２＝２㎝です。
また、ＪＢＬとＫＥＭも直角二等辺三角形なので、辺ＪＬとＭＫの長さはどちらも２㎝になります。
つまり、上の図の辺ＪＫの長さはＪＬ＋ＬＭ＋ＭＫ＝２＋８＋２＝１２㎝なので、赤い点線ＢＥの下と上にある水面の面積は、
・赤い点線の下(正方形ＢＣＤＥ)→８×８＝６４㎠
・赤い点線の上(台形ＪＢＥＫ)→(１２＋８)×２÷２＝２０㎠
となります。
したがって、次の図のように容器を真正面から見たとき、水の入った部分の面積は６４＋２０＝８４㎠になります。
上の図で水が入っている部分の立体は、底面を赤い線で囲ったＹ字っぽい部分とすると、高さは緑色の３㎝の部分とみなすことができるので、水の体積は８４×３＝２５２㎤になります。
(２)
次の図のように、辺ＢＣを右側へ伸ばすと直角二等辺三角形ＣＤＥができ、辺ＣＤとＤＥの長さはどちらも４㎝になります。
また、下の図の辺ＢＣが８㎝(正方形の一辺)であることも、さっきの問題で確認済みです。
上の図の辺ＡＣとＢＥは平行なので、角ＡＣＢとＥＢＣの大きさは同じです(錯角の関係)。
また、角ＡＤＣとＥＤＣはどちらも直角なので、三角形ＡＢＣとＥＤＢは２つの内角の大きさが(そして残りの１つの角の大きさも)等しいことが分かります。
つまり、三角形ＡＢＣとＥＤＢは相似なので、比べやすいように２つの三角形を次の図のように分け、辺ＡＢの長さを□㎝とおくと、８㎝：１２㎝＝□㎝：４㎝という比例式ができます。
つまり、上の図の辺ＡＢの長さは８×４÷１２＝３分の８㎝なので、次の図の三角形ＡＢＣの面積は、３分の８×８÷２＝３分の３２㎠になります。
容器に残った水の部分は、底面を三角形ＡＢＣとすると、高さが３㎝の三角柱になっているので、その体積は３分の３２×３＝３２㎤です。
最初この容器に入っていた水の体積は２５２㎤、そして容器に残った水の体積は３２㎤なので、こぼれた水の体積は２５２－３２＝２２０㎤になります。
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