横の辺の長さが６ｍの長方形の部屋の床に正方形のタイルをしきつめます。横の辺に平行な直線で床を２つの長方形に分けて、一方には一辺が５０cmのタイルをしき、もう一方には一辺が３０cmのタイルをしくと、床全面にしきつめられます。このとき使うタイルは合計２２８枚です。
また、直線を横の辺に平行なままずらして床を前とは別の２つの長方形に分けて、一方には一辺が３０cmのタイルをしいても、床全体にしきつめられます。このとき使うタイルは合計２２０枚です。
部屋のたての辺の長さは何ｍですか。式や考え方も書きなさい。
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とりあえず、問題文の場面から確認していきましょう。
【一辺５０cm(青色)と３０cm(赤色)のタイルを使う場合】
(画像はすべて、クリックすると拡大します)
横の長さは６ｍ＝６００cmなので、５０cmのタイルは横１列に６００÷５０＝１２枚ずつ、そして３０cmのタイルは横１列に６００÷３０＝２０枚ずつならんでいます。
また、タイルの合計は２２８枚なので、一の位の「８」を作るには次の３通りが考えられます。
① ５０cmのタイルが１２枚×４列＝４８枚の場合
そのとき、３０cmのタイルは２２８－４８＝１８０枚＝２０枚×９列となる。
② ５０cmのタイルが１２枚×９列＝１０８枚の場合
そのとき、３０cmのタイルは２２８－１０８＝１２０枚＝２０枚×６列となる。
③ ５０cmのタイルが１２枚×１４列＝１６８枚の場合
そのとき、３０cmのタイルは２２８－１６８＝６０枚＝２０枚×３列となる。
【一辺４０cm(緑色)と３０cm(赤色)のタイルを使う場合】
この図の場合、オレンジ色の境界線はさっきよりも下にずらせるので、３０cmのタイルの枚数は減ります。また、５０cmのタイルは全部はがしてポイしたあと、４０cmのタイルをすき間なくしきつめます。
※ 境界線を上にずらすと３０cmのタイルをはる部分が広くなる→枚数の合計が増えちゃうのでダメ。
このとき、５０＋３０＝４０×２になることを利用して、５０cmと３０cmのタイルを１列ずつはがしたところに、４０cmのタイルを２列あてはめれば、次の図のようにピッタリ交換できます。
５０cmと３０cmのタイルを１列ずつはがすと、タイルの枚数は１２＋２０＝３２枚減ります。
また、４０cm(緑色)のタイルは横１列に６００÷４０＝１５枚ずつならんでいるので、４０cmのタイルを２列はると、タイルの枚数は１５×２＝３０枚増えます。
つまり、上の図のような交換を１回行うごとに、タイルの合計枚数は３２－３０＝２枚ずつ減っていきます。
実際にはタイルの合計が２２８－２２０＝８枚減ったので、この交換を８÷２＝４回行ったことが分かります。
この交換を４回行うと、５０cmと３０cmのタイルは最初の図より４列ずつ減るのですが・・・
① ５０cmのタイルが１２枚×４列、３０cmのタイルが２０枚×９列の場合
交換の後、５０cmのタイルは全部なくなってスッキリ！３０cmのタイルは９－４＝５列残り、４０cmのタイルが２×４＝８列増えます。
② ５０cmのタイルが１２枚×９列、３０cmのタイルが２０枚×６列の場合
交換の後、５０cmのタイルが９－４＝５列残ったままなのでダメ！
③ ５０cmのタイルが１２枚×１４列、３０cmのタイルが２０枚×３列の場合
そもそも３０cmのタイルが３列しかないので１回も交換ができない！
というわけで、問題文の条件にあてはまるのは上の①のときしかありえないことが分かります。
以上から、部屋のたての長さは５０×４＋３０×９＝４７０cm＝４.７ｍになります。
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