図のように、２から１００までの整数が書かれた９９枚のカードが並べてあります。それぞれのカードの裏には、表と同じ整数が書かれています。
・１回目に、２の倍数が書かれたカードをすべて裏返しました。
・２回目に、３の倍数が書かれたカードをすべて裏返しました。
・３回目に、４の倍数が書かれたカードをすべて裏返しました。
・９９回目に、１００の倍数が書かれたカードをすべて裏返しました。
次の問いに答えなさい。
(１)
１２、２５、２７、３０、３６が書かれたカードのうち、偶数回裏返されたカードに書かれた整数をすべて求めなさい。
(２)
９９枚のカードのうち、最も多く裏返されたカードは、何回裏返されましたか。
(３)
奇数回裏返されたカードの表に書かれた整数の合計を求めなさい。
【補足】すべて求め方も含めて答える問題です。
※ 解説を見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック！
(１)
例えば「１２」の約数は「１、２、３、４、６、１２」の６個ですが、「１の倍数を裏返す」という作業はないので、実際には６－１＝５回裏返されます。
つまり、カードを偶数回裏返すためには、カードに書かれた数の約数が「１」もふくめて奇数個あればＯＫです。
多くの整数の場合、次の図の「１２」のように約数が偶数個あるのですが、「２５」や「３６」などのように(同じ数)×(同じ数)の答えの場合、約数の個数が奇数個になります。
※ 画像はクリックすると拡大します。
したがって、偶数回裏返されるカードに書かれた数は
２５と
３６の２つです。
(２)
結論から言うと、２から１００までの中で約数の個数が最も多いのは「６０」や「７２」、「９０」や「９６」などの場合の１２個です。
ただ、それを説明するには「約数の個数を求める方法」を知っている必要があるので、「そんなの知らないさー！」と思ったあなたは、まずコチラをサラッと流し読みしてください。
【１００以下の整数を１種類の素数の積で表す場合】
１種類の素数しか使わずに、１００以下の整数をなるべく長いかけ算の式で表すためには、素数の中で最も小さい「２」をたくさん使えばＯＫです。
「２」をたくさんかけ合わせてギリギリ１００を超えない数を作るとき、次のように「２」を６回まで使うことができ、そのときの答えである「６４」の約数は全部で６＋１＝７個あります。
２×２×２×２×２×２＝６４→「２」は６個までＯＫ
【１００以下の整数を２種類の素数の積で表す場合】
２種類の素数を使って１００以下の整数を長いかけ算の式で表すためには、「２」や「３」などの小さい素数を使います。
「２」と「３」をたくさんかけ合わせてギリギリ１００を超えない数を作るときは、次の３通りが考えられます。
① ３×２×２×２×２×２＝９６→「３」を１個使うなら、「２」は５個まで
② ３×３×２×２×２＝７２→「３」を２個使うなら、「２」は３個まで
③ ３×３×３×２＝５４→「３」を３個使うなら、「２」は１個だけ
このとき、①の場合の約数は全部で(１＋１)×(５＋１)＝１２個、②の場合の約数も全部で(２＋１)×(３＋１)＝１２個になります。
【１００以下の整数を３種類の素数の積で表す場合】
３種類の素数を使って１００以下の整数を長いかけ算の式で表すためには、「２」と「３」にくわえて「５」を使うことになります。
「２」と「３」と「５」をたくさんかけ合わせて１００を超えない数を作るときは、次の２通りが考えられます。
① ５×３×２×２＝６０→「５」を１個、「３」を１個、「２」を２個
② ５×３×３×２＝９０→「５」を１個、「３」を２個、「２」を１個
①の場合、約数の個数は(１＋１)×(１＋１)×(２＋１)＝１２個、そして②の場合も(１＋１)×(２＋１)×(１＋１)＝１２個になります。
【１００以下の整数を４種類の素数の積で表す場合】
それは無理です。だって、２×３×５×７＝２１０ですから。
以上から、２から１００までの整数の中で最も約数の個数が多い場合は１２個であり、そのときにカードを裏返す回数は１２－１＝１１回になります。
(３)
「奇数回裏返すカード→約数が偶数個→たくさんある」、「偶数回裏返すカード→約数が奇数個→(同じ数)×(同じ数)の答えだけ」なので、まずは２から１００の中で(同じ数)×(同じ数)の答えになっているものの和を求め、それを２から１００までの整数の和から引いて答えを求めることにします。
２から１００の中で(同じ数)×(同じ数)の答えになっている数は、２×２＝４、３×３＝９、４×４＝１６、５×５＝２５、６×６＝３６、７×７＝４９、８×８＝６４、９×９＝８１、１０×１０＝１００の９個あります。
その９個の整数の和は４＋９＋１６＋２５＋３６＋４９＋６４＋８１＋１００＝３８４です。
また、２から１００までのすべての整数の和は(２＋１００)×９９÷２＝５０４９なので、奇数回裏返されたカードに書かれた数の和(約数が偶数個の数の和)は、５０４９－３８４＝４６６５になります。
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