長さ９００ｍのトンネルを掘ることにしました。Ａ班は東から１日に５ｍずつ、Ｂ班は西から１日に３ｍずつ掘っていきます。Ａ班は３日間掘ったあと１日休み、Ｂ班は５日間掘ったあと１日休む、ということを繰り返します。Ａ班とＢ班は同じ日に掘り始め、出会った日に工事は完成するものとします。このとき、次の問いに答えなさい。
(１)
Ａ班とＢ班が初めて同じ日に休むのは、掘り始めてから何日目ですか。
(２)
工事が完成するのは掘り始めてから何日目ですか。
(３)
１日に掘る距離を、Ａ班は１日に３ｍ、Ｂ班は１日に５ｍに変えると、工事が完成するのは掘り始めてから何日目ですか。
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(１)
Ａ班は４日に１回、Ｂ班は６日に１回休むので、次の図のように４と６と最小公倍数である１２日目に初めて同時に休みます。
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(２)
まずはＡ班とＢ班がそれぞれ１２日間でそれぞれ何ｍずつ掘り進むのかを求めてみると、
・Ａ班→１２－３＝９日働き、１日５ｍずつ掘るので、５×９＝４５ｍ
・Ｂ班→１２－２＝１０日働き、１日３ｍずつ掘るので、３×１０＝３０ｍ
となることから、１２日間で合わせて４５＋３０＝７５ｍ掘ることができます。
９００÷７５＝１２なので、次の図の１２日間を１２周すればちょうど９００ｍになります。
ただし、１２周目の最終日はもともとお休みなので、実際にはその１日前には仕事が完成しているはずです。
以上から、答えは１２×１２－１＝１４３日目になります。
(３)
まずはさっきと同じように１２日間で何ｍ掘り進むのかを求めてみると、
・Ａ班→１２－３＝９日働き、１日３ｍずつ掘るので、３×９＝２７ｍ
・Ｂ班→１２－２＝１０日働き、１日５ｍずつ掘るので、５×１０＝５０ｍ
となることから、１２日間で合わせて２７＋５０＝７７ｍになります。
９００÷７７＝１１余り５３なので、次の図の１２日間を１１周した後、さらに５３ｍ掘り進めばちょうど９００ｍになります。
また、残りの５３ｍは上の図のように８日間で完成するので、答えは１２×１１＋８＝１４０日目になります。
【補足】
「５３ｍ掘るのに８日かかる」の求め方は、
① １２日間だと７７ｍだから、７７－５３＝２４ｍ多すぎ
② ２４÷８＝３なので、９日目から１１日目までの３日間は必要なし
③ つまり、１日目から８日目までにちょうど５３ｍ掘ることができる
という感じで求めた方がスマートなのかな？と後から気が付きました(汗)
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