次の図１と図２は４つの点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを中心とする半径６㎝の円を、中心を結ぶと正方形になるように並べたものです。今、点Ｐを中心とする半径６㎝の円が図１の位置から４つの円Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの周りをすべらないように回転して１周します。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率を３.１４とします。
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(１)
円Ｐが図１の位置から図２の位置まで移動したとき、中心Ｐが動いた長さを求めなさい。
(２)
円Ｐが１周し終わったとき、円が何回転したか求めなさい。
(３)
円Ｐが１周し終わったとき、点Ｐが動いて囲んだ図形の面積を求めなさい。ただし、１辺の長さが１２㎝の正三角形の面積を６２.３５㎠とします。
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(１)
円の中心がＰからＱへ移動するとき、Ｐが通った道は次の図のような青い曲線になります。
下の図の三角形ＰＡＤとＱＢＡは、どちらも辺の長さが円の半径なので正三角形であり、角ＰＡＤとＱＡＢの大きさはどちらも６０度になります。
また、角ＤＡＢは直角なので、おうぎ形ＡＰＱの中心角は３６０－(６０＋６０＋９０)＝１５０度であることが分かります。
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上の図のＡＰの長さは小さい円の半径２本分なので６×２＝１２㎝です。
つまり、求めたいのは半径１２㎝で中心角１５０度のおうぎ形ＡＰＱの孤の長さにあたるので、答えは１２×２×３.１４×(３６０分の１５０)＝３１.４㎝になります。
(２)
円の中心がＰからスタートしてＱ→Ｒ→Ｓ→Ｐと１周するとき、点Ｐが通った道は次の図のように半径１２㎝で中心角１５０度のおうぎ形の孤４本分になります。
青い曲線４本分の長さは１２×２×３.１４×(３６０分の１５０)×４＝４０×３.１４㎝、そして小さな円の周りの長さは６×２×３.１４＝１２×３.１４㎝なので、円Ｐは４０÷１２＝３分の１０回転しました。
(３)
下の図の青いおうぎ形４個、黄色い正三角形４個、緑色の正方形１個の面積を合計すればＯＫです。
・青いおうぎ形４個の面積→１２×１２×３.１４×(３６０分の１５０)×４＝７５３.６㎠
・黄色い正三角形４個の面積→６２.３５×４＝２４９.４㎠
・緑色の正方形１個の面積→１２×１２＝１４４㎠
以上から、答えは７５３.６＋２４９.４＋１４４＝１１４７㎠になります。
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