下図のような図形に、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｘの５つの地点があります。
地点間の道のりはそれぞれ、ＡからＢが２㎝、ＢからＣが１０㎝、ＣからＤが６㎝、ＤからＡが８㎝、ＡからＸが５㎝、ＣからＸが６㎝です。
点ＰはＤを出発し、Ａ、Ｂを通りＣへ向かって進みます。点ＱはＢを出発し、Ｃ、Ｄを通りＡへ向かって進みます。
(１) ２点Ｐ、Ｑが同時に出発し、ともに毎秒１㎝で進むとき、
① ２秒後にＰ、Ｑがある地点から地点Ｘまでの最短の道のりをそれぞれ求めなさい。
② 出発してから１０秒後までの間で、ＰからＸまでの最短の道のりが、ＱからＸまでの最短の道のり以下なのはいつですか。
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(１)①
次の図を見れば分かるように、点Ｐから点Ｘまでのきょりは青と赤い線の２通り、そして点Ｑから点Ｘまでのきょりも紫と緑の２通りの測り方があります。
(画像はすべて、クリックすると拡大します)
スタート時の４種類の線の長さを確認しておくと、次のようになっています。
・青い線→８＋５＝１３㎝で、その後は１秒に１㎝ずつ短くなっていく。
・赤い線→６＋６＝１２㎝で、その後は１秒に１㎝ずつ長くなっていく。
・紫の線→５＋２＝７㎝で、その後は１秒に１㎝ずつ長くなっていく。
・緑の線→１０＋６＝１６㎝で、その後は１秒に１㎝ずつ短くなっていく。
スタートから２秒後、青い線は１３－２＝１１㎝、赤い線は１２＋２＝１４㎝なので、点Ｐから点Ｘまでの最短きょりは１１㎝になります。
同じように紫の線は７＋２＝９㎝、緑の線は１６－２＝１４㎝なので、点Ｑから点Ｘまでの最短きょりは９㎝になります。
(１)②
スタート時、次の図の青い線と紫の線の長さの差は１３－７＝６㎝ありますが、１秒ごとに青い線は１㎝ずつ短く、紫の線は１㎝ずつ長くなっていくので、その差は１秒間に１＋１＝２㎝ずつ縮まっていきます。
したがって、スタートしてから６÷２＝３秒後に２つの線の長さは次の図のように等しくなり、その後は点Ｐが点Ａに着くまでの間、青い線はどんどん短くなる一方、紫の線はどんどん長くなっていきます。
次は、スタートから８秒後の点Ｐと点Ｑそれぞれから点Ｘまでのきょりを確認してみます。
・青い線→５㎝で、その後は１秒に１㎝ずつ長くなっていく。
・緑の線→２＋６＝８㎝で、その後は１秒に１㎝ずつ短くなっていく。
スタートから８秒後、緑の線は青い線よりも８－５＝３㎝長いのですが、その差は１秒ごとに１＋１＝２㎝ずつ縮まっていきます。
したがって、上の図の状態(スタートから８秒後)から３÷２＝１.５秒後に青と緑の長さは等しくなり、その後は青い線の方が長くなります(次の図)。
以上から、ＰＸ(青い線)がＱＸ(紫や緑の線)よりも短くなるのは、スタートしてから３秒後から８＋１.５＝９.５秒後までの６.５秒間になります。
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