１辺の長さが１０㎝の立方体の展開図があります。次の各問いに答えなさい。ただし、円周率は３.１４とします。
(１)
次の図１のような展開図のまわりを、半径５㎝の円をすべることなく１周させたとき、円の通過する部分の面積は何㎠ですか。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
(２)
次の図２のような展開図のまわりを、(１)と同じように半径５㎝の円を１周させたとき、円の通過する部分の面積は(１)より何㎠違いますか。ただし、同じである場合は０㎠と答えなさい。
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック！
(１)
半径５㎝の円が次の図のように立方体の展開図の外側をカーブするときは、緑色の部分のような半径１０㎝、中心角９０度のおうぎ形ができます。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
また、次の図の黄色い２か所を円が通ることはできないので、通過する部分の面積を求めるときには除外する必要があります。
展開図のまわりを円が１周したときの様子を図に表すと次のようになるので、通過した部分の面積を求めるには、
① 緑色のおうぎ形６個分の面積を求める
② 青い正方形１２個分の面積を求める
③ 黄色い２か所の面積を求める
④ ①と②の合計から③を引く
という流れで計算すればＯＫです。
上の図の緑色のおうぎ形６個分の面積は１０×１０×３.１４×４分の１×６＝４７１㎠、そして青い正方形１２個分の面積は１０×１０×１２＝１２００㎠です。
また、黄色い部分１か所あたりの面積は、次の図のように「１辺５㎝の正方形の面積」から「半径５㎝、中心角９０度のおうぎ形の面積」を引けば求められるので、
・１辺５㎝の正方形の面積→５×５＝２５㎠
・半径５㎝、中心角９０度のおうぎ形の面積→５×５×３.１４×４分の１＝１９.６２５㎠
・黄色い部分１か所あたりの面積→２５－１９.６２５＝５.３７５㎠
となることから、黄色い２か所の面積は５.３７５×２＝１０.７５㎠になります。
以上から、円が通過した部分の面積は４７１＋１２００－１０.７５＝１６６０.２５㎠です。
(２)
さっきの問題と同じように、展開図のまわりを半径５㎝の円が１周する様子を図に表してみると次のようになるので、通過した部分の面積を求めるには、
① 緑色のおうぎ形８個分の面積を求める
② 青い正方形１０個分の面積を求める
③ 黄色い４か所の面積を求める
④ ①と②の合計から③を引く
という流れで計算すればＯＫです。
上の図の緑色のおうぎ形８個分(つまり円２個)の面積は１０×１０×３.１４×２＝６２８㎠、そして青い正方形１０個分の面積は１０×１０×１０＝１０００㎠です。
また、黄色い４か所の面積の合計は５.３７５×４＝２１.５㎠なので、上の図で円が通過した部分の面積は６２８＋１０００－２１.５＝１６０６.５㎠です。
以上から、円の通過する部分の面積の差は１６６０.２５－１６０６.５＝５３.７５㎠になります。
PR
