１００点満点のテストを１００名が受けました。テストをすべて採点した結果、１００人中の最高点は９０点、最低点は２０点で、平均点は７５点ちょうど(小数点以下は０)でした。このとき、１００人の中で点数が平均点以下だった人の数について、考えられるもっとも少ない人数は( )人です。ただし、１人１人の人数は、すべて整数の値であるものとします。
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もし最高点である９０点の人がたくさんいると、平均点を７５点に下げるために、７５点より低い点数の人もたくさん必要になってしまいます。
つまり、平均点以下の人数をなるべく少なくするには、極端に高い点数の人をなるべく減らして、平均点よりほんのちょっとだけ高い点数(具体的には７５＋１＝７６点)をとった人を増やせばＯＫです。
テスト受験者１００人の平均点が７５点だったので、その１００人の合計点は７５×１００＝７５００点です。
また、最高の９０点と最低の２０点をとった人が次の図のように少なくとも１人ずつはいるので、残った１００－２＝９８人の合計点は、７５００－９０－２０＝７３９０点です。
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もしその９８人がみんな平均点ギリギリ超えの７６点だった場合、その９８人の合計点は７６×９８＝７４４８点になります。
ただ、それだと９８人の合計点が７４４８－７３９０＝５８点多すぎなので、次の図のように９８人のうちの１人だけ「７６点とった」から「最低の２０点だった」に移ってもらいます。
すると、合計点は７６－２０＝５６点減るので、７４４８－５６＝７３９２点になります。
上の図の状態でも、９８人の合計点があと７３９２－７３９０＝２点多いので、次の図のように９７人のうちの１人だけ７６－２＝７４点とったことにしてもらいます。
すると、９８人の内訳は
・最低の２０点をとった→１人
・７４点だった→１人
・７６点だった→９６人
となります(２０＋７４＋７６×９６＝７３９０点)。
最初に確認したように、上の図の９８人以外にも「最低の２０点だった人」と「最高の９０点だった人」が１人ずついるので、その２人も含めて１００人の点数を図に表すと次のようになります。
上の図から、１００人のうち平均の７５点以下だった人は、最低の２０点だった２人と７４点だった１人の合わせて２＋１＝３人になります。
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