面積が３㎠の正三角形を次の図のように３つ並べます。点Ａは真ん中の点です。この図で色がぬられた部分の面積を求めなさい。
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次の図の辺ＢＥとＥＣはどちらも正三角形の１辺で長さが等しいので、辺ＢＥとＥＣの長さをどちらも１とおくと、ＢＣの長さは２と表せます。
また、辺ＤＥとＡＣは平行なので、角ＢＤＥとＤＡＣ、角ＤＥＢとＡＣＥの大きさはそれぞれ等しいことも分かります。
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三角形ＢＤＥとＢＡＣを次の図のように並べて比べてみると、この２つの三角形は内角が等しいので相似であり、長さの比は辺ＢＥとＢＣとの関係から１：２です。
したがって、辺ＤＥとＡＣの長さの比も１：２になります。
次の図の辺ＤＥの長さを１とおくとＡＣの長さは２、そして点Ａは辺ＦＣの中点なので、辺ＦＡの長さも２と表せます。
また、三角形ＤＥＧとＡＦＧは８の字相似の関係で、対応する辺の長さの比はＤＥ：ＦＡ＝１：２なので、三角形ＤＥＧとＡＦＧの面積比は１×１：２×２＝１：４となります。
次の図のように、点ＡからＥへ線を引くと正三角形ＦＥＣの面積が２等分されるので、三角形ＡＥＣとＦＥＡの面積はどちらも３÷２＝１.５㎠です。
また、三角形ＡＧＥとＡＦＧは底辺をそれぞれ辺ＥＧ、ＧＦとすると高さが等しくなるので、面積比は底辺の長さの比と同じく１：２になります。
つまり、上の図の三角形ＦＥＡの面積を１：２に比例配分すれば三角形ＡＧＥとＡＦＧの面積がそれぞれ求められるので、三角形ＡＧＥの面積は１.５×３分の１＝０.５㎠、そして三角形ＡＦＧの面積は１.５×３分の２＝１㎠になります。
※ 実際に必要なのは三角形ＡＦＧの面積です。
次の図の三角形ＡＦＧの面積は１㎠、そして三角形ＤＥＧとＡＦＧの面積比は１：４なので、ＤＥＧの面積は１÷４＝０.２５㎠です。
次の図の正三角形ＥＦＨの面積は３㎠、そして三角形ＤＥＧの面積は０.２５㎠なので、この問題で求めたいＨＤＧＦの面積は３－０.２５＝２.７５㎠になります。
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