気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のように半径１０㎝の円の周上に１２等分する点をとり、それらを結んで六角形を作りました。
 
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(１)　アの角度を求めなさい。
 
(２)　六角形の面積を答えなさい。
 
 
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(１)
次の図のように、円の中心Ｏと円周上の１２個の点をすべて直線で結ぶと、円の中心角は１２等分されるので、下の図の角ＡＯＢは３６０÷１２＝３０度です。
 
また、辺ＯＡとＯＢはどちらも円の半径で長さが等しいので、ＯＡＢは二等辺三角形であり、角ＯＡＢとＯＢＡはどちらも(１８０－３０)÷２＝７５度になります。
 
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次の図の角ＢＯＣは１２個に等分された円の中心角が３つ集まっているので３０×３＝９０度です。
 
また、辺ＯＢとＯＣはどちらも円の半径で長さが等しいので、ＯＢＣは直角二等辺三角形であり、角ＯＢＣとＯＣＢはどちらも４５度です。














この問題で求めたいのは次の図の角ＣＢＡの大きさなので、答えは４５＋７５＝１２０度になります。















(２)
次の図のように、円の中心Ｏから六角形ＡＢＣＤＥＦの各頂点へ線を引くと、六角形の内部は
 
・ＯＢＣと合同な直角二等辺三角形が３個
・ＯＡＢと合同な二等辺三角形が３個
 
に分けられます。
 
また、下の図の直角二等辺三角形ＯＢＣは直角をはさむ２辺の長さが円の半径と同じく１０㎝なので、その面積は１０×１０÷２＝５０㎠です。















次の図のように、二等辺三角形ＯＡＢの頂点Ｂから辺ＡＯへ垂線を引き、辺ＡＯとの交点をＧとすると、角ＯＢＧは１８０－(３０＋９０)＝６０度になります。
 
つまり、三角形ＯＢＧの内角は「３０度・６０度・９０度」となることから、ちょうど正三角形をスパッと半分に切った形であり、辺ＢＧの長さはＯＢの半分にあたる５㎝になります。
 
そのとき、二等辺三角形ＯＡＢの底辺をＡＯとするとＢＧは高さにあたるので、ＯＡＢの面積は１０×５÷２＝２５㎠となります。









以上から、直角二等辺三角形３個の面積は５０×３＝１５０㎠、二等辺三角形３個の面積は２５×３＝７５㎠となることが分かったので、求める六角形の面積は１５０＋７５＝２２５㎠になります。