次の図の三角形ＡＢＣにおいて、
ＡＦ：ＦＢ＝３：２
ＡＥ：ＥＣ＝１：２
ＢＤ：ＤＣ＝１：１
とします。三角形ＡＢＣの面積が６０㎠のとき、次の問いに答えなさい。
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(１) 三角形ＣＤＥの面積を求めなさい。
(２) 三角形ＦＤＥの面積を求めなさい。
(３) ＡＧ：ＧＤを求めなさい。
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(１)
次の図のように三角形ＡＢＣの底辺と高さを１とおくと、
・三角形ＣＤＥの底辺→ＢＤ：ＤＣ＝１：１なので、ＡＢＣの底辺の２分の１
・三角形ＣＤＥの高さ→ＡＥ：ＥＣ＝１：２なので、ＡＢＣの高さの３分の２
と表せることが分かります。
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つまり、三角形ＣＤＥの面積はＡＢＣの２分の１×３分の２＝３分の１倍になるので、三角形ＣＤＥの面積は６０×３分の１＝２０㎠です。
(２)
さっきの問題で、三角形ＣＤＥの面積はＡＢＣの３分の１倍になることが分かったので、三角形ＦＢＤとＡＦＥの面積についても、同じようにＡＢＣの何倍にあたるのかを求めてみます。
【三角形ＦＢＤの面積の割合の求め方】
次の図のように三角形ＡＢＣの底辺と高さを１とおくと、
・三角形ＦＢＤの底辺→ＢＤ：ＤＣ＝１：１なので、ＡＢＣの底辺の２分の１
・三角形ＦＢＤの高さ→ＡＦ：ＦＢ＝３：２なので、ＡＢＣの高さの５分の２
と表せるので、三角形ＦＢＤの面積はＡＢＣの２分の１×５分の２＝５分の１倍になります。
【三角形ＡＦＥの面積の割合の求め方】
次の図のように三角形ＡＢＣの底辺(ＡＢとする)と高さを１とおくと、
・三角形ＡＦＥの底辺→ＡＦ：ＦＢ＝３：２なので、ＡＢＣの底辺の５分の３
・三角形ＡＦＥの高さ→ＡＥ：ＥＣ＝１：２なので、ＡＢＣの高さの３分の１
と表せるので、三角形ＡＦＥの面積はＡＢＣの５分の３×３分の１＝５分の１倍になります。
三角形ＡＢＣの面積を１とおくと、ＣＤＥの面積の割合は３分の１、ＦＢＤとＡＦＥの面積の割合はどちらも５分の１であることが分かりました。
次の図を見れば分かるように、三角形ＦＤＥの面積の割合は、ＡＢＣから他の３つの三角形の面積の割合を引けば求められるので、１－(３分の１＋５分の１＋５分の１)＝１５分の４になります。
三角形ＡＢＣの面積は６０㎠なので、ＦＤＥの面積は６０×１５分の４＝１６㎠になります。
(３)
次の図の三角形ＡＦＥとＤＦＥは、底辺はどちらもＦＥなので、面積比と高さの比が等しくなります。
また、その高さの比はＡＧとＧＤの長さの比にもなっています。
三角形ＡＦＥの面積はＡＢＣの５分の１、ＤＦＥの面積はＡＢＣの１５分の４なので、この２つの三角形の面積比は、ＡＦＥ：ＤＦＥ＝５分の１：１５分の４＝３：４になります。
それが２つの三角形の高さの比であると同時に、ＡＧとＧＤの長さの比にもなっているので、答えは３：４になります。
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