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2010

慶応普通部2010【４】　☆平面図形・比を利用して三角形の面積を表す☆
三角形ＡＢＣがあります。ＢＤ：ＤＣ＝１：３で、ＡＥ：ＥＣ＝３：２です。直線ＡＦが、四角形ＡＢＤＥの面積を二等分するとき、ＤＦ：ＦＥを求めなさい。
 
※　画像はクリックすると拡大します。

keifu401.png
※　続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック！

辺の長さの比を使って三角形の面積を表してみると、たとえば次の図の三角形ＡＢＣは底辺の長さが１＋３＝４、高さが３＋２＝５なので、面積は４×５＝２０と表せます(÷２はすべての三角形で省略)。
 
※　画像はすべて、クリックすると拡大します。

keifu402.png
下の図の三角形ＥＤＣは底辺が３、高さが２なので面積は３×２＝６、そして四角形ＡＢＤＥの面積は三角形ＡＢＣとＥＤＣの差にあたるので、２０－６＝１４と表せます。

keifu403.png
次の図の四角形ＡＢＤＥの面積は直線ＡＦによって２等分されているので、四角形ＡＢＤＦと三角形ＡＦＥの面積はどちらも１４÷２＝７と表せます。

keifu404.png
次は下の図のように、点ＡとＤを直線で結んでみると、三角形ＡＢＤは底辺が１、高さが５なので、面積は１×５＝５と表せます。
 
また、三角形ＡＤＦの面積は四角形ＡＢＤＦと三角形ＡＢＤとの差を計算すれば求められるので、７－５＝２となります。

keifu405.png
つまり下の図のように、三角形ＡＤＦとＡＦＥの面積比は２：７となることが分かったのですが、この２つの三角形は高さが等しいので、底辺であるＤＦとＦＥの長さの比も面積比と同じく２：７になります。

keifu406.png









 
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