次の図は、１辺の長さが６㎝、９㎝、１０㎝である正方形を辺が重なるように組み合わせたもので、それぞれの正方形をＡＢＣＤ、ＤＥＦＧ、ＦＨＩＪとします(ＤとＦは、２つの正方形の頂点が重なっています)。また、ＡＨとＢＩの交点をＰ、ＡＨとＥＧの交点をＱとします。このとき、次の問いに答えなさい。
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(１) ＡＰ：ＰＨを求めなさい。
(２) ＡＱ：ＱＨを求めなさい。
(３) ＡＰ：ＰＱ：ＱＨを求めなさい。
(４) 三角形ＩＰＱの面積を求めなさい。
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(１)
次の図の三角形ＡＢＰとＨＩＰは８の字相似になっています。
辺ＡＢとＩＨの長さの比は６㎝：９㎝＝２：３なので、ＡＰ：ＰＨも２：３になります。
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(２)
次の図の三角形ＡＱＧとＨＱＥは８の字相似になっています。
辺ＡＧの長さは６＋１０＝１６㎝、そして辺ＥＨの長さは１０＋９＝１９㎝なので、ＡＱとＱＨの長さの比も１６：１９になります。
(３)
さっきの問題でＡＰ：ＰＨ＝２：３、ＡＱ：ＱＨ＝１６：１９であることが分かりました。
ただ、「ＡＰ＋ＰＨ」と「ＡＱ＋ＱＨ」はどちらもＡＨだから比の合計は同じになるはずなのに、実際には「２＋３＝５」と「１６＋１９＝３５」のように合計がそろっていません。
そこで次の図のように、ＡＰとＰＨの比を７倍して、比の合計を３５にそろえてみます。
上の図から、ＡＰの長さは１４、ＱＨの長さは１９、そしてＰＱの長さはＡＱ－ＡＰ＝１６－１４＝２と表せることが分かったので、ＡＰ：ＰＱ：ＱＨ＝１４：２：１９になります。
(４)
次の図の三角形ＡＢＰとＨＩＰの高さの合計は６＋１０＋９＝２５㎝なので、それを２：３に比例配分すればそれぞれの三角形の高さが求められます。
三角形ＨＩＰの高さは２５×(５分の３)＝１５㎝、底辺は９㎝なので、面積は９×１５÷２＝６７.５㎠になります。
次の図の三角形ＩＰＱとＩＱＨは底辺の比が２：１９で高さが等しいので、面積比は底辺比と同じく２：１９になります。
また、この２つの三角形の面積は合わせて６７.５㎠なので、それを２：１９に比例配分すればそれぞれの三角形の面積が求められます。
以上から、三角形ＩＰＱの面積は６７.５×(２１分の１９)＝７分の４５㎠になります。
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