09/21
Wed
2011
(１)
次の図のように直角三角形ＡＢＣだけを取り出して３辺の長さの比を求めてみると、短い順に１２㎝：１６㎝：２０㎝＝３：４：５となります。
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次の図の直角三角形ＤＣＥはＡＢＣと相似なので、この三角形も３辺の長さの比は短い順に３：４：５となっているはずです。
つまり、辺ＤＣの長さである９㎝は比の３にあたるので、比の１は９÷３＝３㎝、辺ＤＥの長さ(比の５)は３×５＝１５㎝になります。
(２)の①
次の図の直角三角形ＤＣＥとＡＢＣが相似なら、角ＱＥＣとＱＣＥの大きさは等しいので、三角形ＱＥＣは辺ＱＥとＱＣの長さが等しい二等辺三角形になります。
したがって、点Ｑから辺ＥＣに対して垂線を引き、その交点をＲとすると、二等辺三角形ＱＥＣは２つの合同な直角三角形に分割され、辺ＥＲとＲＣの長さはどちらも１２÷２＝６㎝になります。
次の図の三角形ＤＣＥとＱＲＥは、角ＤＣＲとＱＲＥがどちらも直角で、角ＱＥＲは共通なので、内角の関係から相似であることが分かります。
つまり、三角形ＱＲＥの３辺の長さも、ＤＣＥと同じく３：４：５になっているはずなので、辺ＥＲの長さである６㎝は比の４、そして比の１は６÷４＝１.５㎝です。
したがって、下の図の辺ＱＲの長さ(比の３)は１.５×３＝４.５㎝、辺ＱＥの長さ(比の５)は１.５×５＝７.５㎝になります。
つまり次の図のように、二等辺三角形ＱＥＣは辺ＱＥとＱＣがどちらも７.５㎝、そして辺ＥＣの長さが１２㎝であることが分かったので、周囲の長さは７.５×２＋１２＝２７㎝になります。
(２)の②
さっきの問題で、三角形ＱＥＣは底辺ＥＣが１２㎝、そして高さＱＲが４.５㎝となることが分かったので、面積は１２×４.５÷２＝２７㎠です。
(３)
次の図の辺ＡＣは２０㎝、そしてさっきの問題で辺ＱＣは７.５㎝であることが分かったので、辺ＡＱの長さは２０－７.５＝１２.５㎝です。
したがって、辺ＡＱとＱＣの長さの比は１２.５㎝：７.５㎝＝５：３と表せます。
次の図の三角形ＡＢＰとＣＤＰは８の字相似で、辺ＡＢとＤＣの長さの比は１２㎝：９㎝＝４：３なので、辺ＡＰとＰＣの長さの比も４：３になっているはずです。
つまり、辺ＡＣの長さである２０㎝を４：３に比例配分すれば辺ＡＰとＰＣの長さがそれぞれ求められるのですが、答えが分数になってイヤなのでやめときます。
辺ＡＱとＱＣの長さの比は５：３、辺ＡＰとＰＣの長さの比は４：３と表せることが分かったのですが、それだと、
・ＡＱ：ＱＣ＝５：３なので、辺ＡＣの長さは５＋３＝８と表せる
・ＡＰ：ＰＣ＝４：３なので、辺ＡＣの長さは４＋３＝７と表せる
のように、辺ＡＣの長さを表す比がそろっていないので、次の図のようにそれぞれの比の合計を８と７の最小公倍数である５６にそろえてみると、
・ＡＱ：ＱＣ＝５：３→全体を７倍して、５×７：３×７＝３５：２１
・ＡＰ：ＰＣ＝４：３→全体を８倍して、４×８：３×８＝３２：２４
となります。
ＡＱの長さは比の３５、ＡＰの長さは比の３２なので、ＰＱの長さは比の３５－３２＝３と表せます。
また、ＱＣの長さは比の２１なので、ＡＰ：ＰＱ：ＱＣ＝３２：３：２１となります。
(４)
次の図の三角形ＣＤＱは、底辺をＣＤ＝９㎝とすると、高さはＲＣ＝６㎝とみなすことができるので、その面積は９×６÷２＝２７㎠になります。
さっきの問題でＡＰ：ＰＱ：ＱＣ＝３２：３：２１となることが分かったので、次の図の辺ＰＱとＱＣの長さの比は３：２１＝１：７と表せます。
また、下の図の三角形ＤＰＱとＤＱＣは、底辺をそれぞれＰＱ、ＱＣとすると高さが等しいので、面積比は底辺比と同じく１：７となります。
つまり、上の図の三角形ＤＰＱの面積を□㎠とおくと、「１：７＝□㎠：２７㎠」という比例式が作れるので、ＤＰＱの面積は１×２７÷７＝７分の２７㎠になります。
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