下の図のようなＡＢが３㎝、ＡＤが４㎝の長方形ＡＢＣＤに、Ｅ、Ｆ、Ｐ、Ｑをとります。ただし、ＡＥ：ＥＤ＝２：３でＡＢとＥＦは平行です。
三角形ＡＤＰと三角形ＣＰＱの面積の比が１０：３のとき、ＥＰ：ＰＦを最も簡単な整数の比で表しなさい。
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下の図の辺ＥＤと辺ＦＣの長さは等しいので、辺ＡＥと辺ＦＣの長さの比も２：３になります。
また、三角形ＡＱＥと三角形ＣＱＦは８の字相似になっているので、辺ＥＱと辺ＱＦの長さの比も２：３になっています。
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次に下の図の三角形ＡＥＰと三角形ＤＥＰを比べてみると、どちらも高さは辺ＥＰで共通しているので、面積の比はそれぞれの三角形の底辺のである辺ＡＥと辺ＥＤの長さの比と等しくなります。
ＡＥ：ＥＤは２：３なので、三角形ＡＥＰと三角形ＤＥＰの面積比も２：３ですが、この２つの三角形を合わせた三角形ＡＤＰの面積は比の１０なので、それを２：３に比例配分すると次のようになります。
・三角形ＡＥＰの面積→１０×(５分の２)＝４
・三角形ＤＥＰの面積→１０×(５分の３)＝６
また、下の図の三角形ＣＰＱの面積は３なのですが、この三角形とさっきの図で面積が６だった三角形ＤＥＰを比べてみると・・・
・三角形ＤＥＰの面積→ＥＰ×ＥＤ÷２＝６
・三角形ＣＰＱの面積→ＱＰ×ＥＤ÷２＝３
この２つの三角形は高さが共通なので、面積の比はそれぞれの底辺である辺ＥＰと辺ＱＰの長さの比と等しいのですが、その比は６：３＝２：１になっています。
ＥＰ：ＱＰ＝２：１、ＥＱ＝ＥＰ－ＱＰ＝２－１＝１なので、辺ＥＱと辺ＱＰの長さは等しいことになります。
辺ＥＱと辺ＱＦの長さの比は②：③、そして辺ＱＰの長さも辺ＥＱと同じく②なので、辺ＥＰの長さの比は②×２＝④、そして辺ＰＦの長さの比は③－②＝①と表せます(次の図)。
以上から、辺ＥＰと辺ＰＦの長さの比は、ＥＰ：ＰＦ＝４：１になります。
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