次の図のようなＤＣの長さが６㎝の平行四辺形ＡＢＣＤがあります。点Ｐは辺ＡＢ上を動き、ＰＣとＢＤの交わる点をＱとします。ＡＰの長さが１㎝のとき、三角形ＰＱＤの面積は１５㎠です。このとき、次の各問いに答えなさい。
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(１)
ＡＰの長さが１㎝のとき、ＢＱとＱＤの長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。また、そのときの三角形ＰＢＱの面積は何㎠になりますか。
(２)
ＡＰの長さが２㎝のとき、四角形ＡＰＱＤの面積は三角形ＰＢＱの面積の何倍ですか。
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(１)
次の図の辺ＡＰの長さが１㎝のとき、辺ＰＢの長さは６－１＝５㎝になるので、三角形ＰＢＱとＣＤＱは長さの比がＰＢ：ＤＣ＝５：６の８の字相似になります。
また、ＢＱとＱＤの長さの比もＰＢ：ＤＣと等しいので５：６になります。
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次は下の図のように三角形ＰＢＱとＰＱＤに注目してみると、この２つの三角形は底辺がＢＱ：ＱＤ＝５：６で高さは等しいので、面積比は底辺比と同じく５：６になります。
つまり、三角形ＰＢＱの面積を□㎠とおくと、５：６＝□㎠：１５㎠という比例式ができるので、求める面積は５×１５÷６＝１２.５㎠になります。
(２)
辺ＡＰの長さが２㎝のとき、辺ＰＢの長さは６－２＝４㎝になるので、三角形ＰＢＱとＣＤＱは長さの比がＰＢ：ＤＣ＝４㎝：６㎝＝２：３の８の字相似になります。
また、この２つの三角形の高さの比も２：３なので、下の図の辺ＡＤの長さは２＋３＝５と表せます。
このとき、下の図の三角形ＰＢＱとＡＢＤ、そして四角形ＡＰＱＤの面積をそれぞれ比で表してみると、
・三角形ＰＢＱ→底辺ＰＢが４㎝＝比の②、高さが②なので、面積は②×②＝④
・三角形ＡＢＤ→底辺ＡＢが６㎝＝比の③、高さが⑤なので、面積は③×⑤＝⑮
・四角形ＡＰＱＤ→三角形ＡＢＤ－三角形ＰＢＱなので、⑮－④＝⑪
となります。
以上から、四角形ＡＰＱＤの面積は三角形ＰＢＱの面積の⑪÷④＝２.７５倍になります。
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