次の問いに答えなさい。
①
２０１１、２０１２、２０１３、２０１４、２０１５、２０１６、２０１７のうちから７の倍数をすべて選びなさい。
②
１から７までの７個の数字のうち、４個の数字を使って４けたの整数を作ります。同じ数字を何度使ってもよいとき、７の倍数は何通り作れますか。
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①
たとえば７個の中で最小の数である２０１１を７で割ってみると、２０１１÷７＝２８７余り２となります。
そのとき、余りの２に５を足せば７のかたまりがもう１個できて割り切れるので、２０１１＋５＝２０１６なら７で割り切れます。
※ 実際に割ってみると、２０１６÷７＝２８８
また、２０１６の次に７で割り切れる数は２０１６＋７＝２０２３なので、答えは２０１６の１個だけになります。
②
１から７までの７個の数字から４個を使ってできる４けたの整数のうち、最小は１１１１、最大は７７７７です。
また、千の位から一の位までそれぞれ１～７の７通りずつあるので、その組み合わせは７×７×７×７＝２４０１通りあります。
まさかそれらをすべて７で割って確かめてみるわけにもいかないので、まずは条件にあてはまる数を小さい順に書き出していって、何か規則性はないのかなー、と調べてみます。
※ というか、こんなの何らかの規則性があって、それを利用してサクッと計算で解くに決まってます。
とりあえず条件にあてはまる最小の数を求めてみると、１１１１÷７＝１５８余り５、７－５＝２なので、１１１１＋２＝１１１３になります。
そこから７ずつ足していけば７で割れる数をどんどん見つけていけるので次の図のように書き出し、どこかに「０・８・９」が出てきた数を除外すると、「１１□□」の中で条件にあてはまる数は７個あることが分かります。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
「あー、もし他の場合も７個ずつだったらうれしいんだけどなー」と心の中でひっそり思いつつ、同じように「１２□□」と「１３□□」の中で条件にあてはまる数を調べてみると、次の図のようにやはり７個ずつあります。
「もしかして、この調子で７７□□まで数えていくの？」と思ったあなた、まさかそんなことはないのでどうぞご安心ください(笑)
最初に「１１１３」から数え始めたので、下２けたが同じように「□□１３」となるまで数えて、そこまですべて７個ずつであることが確認できればＯＫです。
※ 難しく言うと、そこで１つの周期が完成するから。
ちなみに、１１１３の次に「□□１３」となるのは、１１１３＋７００＝１８１３のときです。
ただし、１８１３だと百の位に使えない「８」が出てきているので、実際には「１７□□」までを確認すれば十分です。
そこで次の図のように、「１４□□」から「１７□□」までをサクッと確認してみると、やはりそれぞれ条件に合うのは７個ずつであることが分かります。
つまり、「１１□□」から「７７□□」までの間に、条件にあてはまる数が７個ずつあることが分かったので、あとは次の図の上２けたに１～７までの数をあてはめたときの組み合わせを確認しておくと、
・千の位は１～７のどれか１つ
・百の位も１～７のどれか１つ
となることから、上２けたの組み合わせは７×７＝４９通りあります。
つまり上の図のように、上２けたの組み合わせは４９通り、そして下２けたの組み合わせは「１１□□」から「７７□□」までの４９通りに対してそれぞれ７組ずつあるので、答えは４９×７＝３４３通りです。
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