気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のような３６個のマス目があります。このマスの中には、整数が１つずつ、次のような条件を満たして入っています。
 
①　同じ整数は隣り合っていません。
②　隣り合う整数の差は３以下です。
 
ただし、隣り合うとは、縦、もしくは横に並ぶことをいい、ななめに並ぶことは考えません。
 
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(１)
マスの中に入っている整数のうち、最大のものと最小のものとの差が、最も小さくなる場合の例を１つ書きなさい。
 
(２)
マスの中に入っている整数のうち、最大のものと最小のものとの差が、最も大きくなる場合の例を１つ書きなさい。
 
(３)
この３６個のマス目には、必ずいくつかの同じ整数が入っています。その理由を書きなさい。
 
 
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(１)
たとえば次の図のように、いちばん左上のマスに「１」をあてはめたとき、
 
・右と下のマス→隣り合うマスの数の差は３以下なので、「２・３・４」のいずれか
・ななめ下のマス→左と上のマスの数との差が３以下であればなんでもＯＫ
 
なので、使われた数の差をなるべく小さくするために、「１」の右と下には「２」を、そしてななめ下には左上と同じく「１」をあてはめておきます。
 
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さっき「２」をあてはめたマスの右と下には、次の図のように「１」をあてはめます。
 
また、さっき「１」をあてはめたマスの右と下には「２」を、そしてななめ下には「１」をあてはめます。
 
すると、これまでに埋めたすべてのマスは「１」または「２」のどちらかが使われていることが分かります。















つまり、いちばん左上のマスを「１」とした場合、次の図のように、
 
・「１」の上下と左右は「２」
・「２」の上下と左右は「１」
 
というパターンですべてのマスが埋まるので、使われている数の差を２－１＝１に抑えることができます。















なお、使われている数の差が最小となるのは、上の図のように「１と２」を使った場合でももちろんＯＫですが、「２と３」や「３と４」、あるいは「１００と１０１」のように、２つの数の差が１となる組み合わせなら何でもＯＫです。
 
 
(２)
たとえば次のような、Ａ～Ｄの４マスの図があるとして、Ｄの数をＡよりもなるべく大きくするには、
 
・ＢとＣのマス→Ａよりも３大きい数をあてはめる
・Ｄのマス→ＢとＣよりも３大きい数をあてはめる
 
という流れで数を決めればＯＫです。
 
※　このとき、ＤはＡよりも３＋３＝６大きい数になる













そのルールに従って、次の図のいちばん左上のマスに「１」をあてはめてから、右と下のマス、ななめ下のマスにあてはめる数を決めていくと、
 
・右と下のマス→どちらも１＋３＝４をあてはめる
・ななめ下のマス→左と上に「４」があるので、４＋３＝７をあてはめる
 
という感じになります。















左上に「１・４・４・７」ができた後は、次の図のように２か所の「４」を基準として、
 
・「４」の右と下のマス→どちらも４＋３＝７をあてはめる
・「４」のななめ下のマス→左と上に「７」があるので、７＋３＝１０をあてはめる
 
という感じでマスの数字を埋めていきます。









そんな感じですべてのマスを数字で埋めていくと、次のような図になって完成します。
 
なお、完成した図のいちばん右下にあるマスの数は、いちばん左上にあるマスの数より３１－１＝３０大きくなっているはずです。
 
また、いちばん左上にあるマスの数から３ずつ大きい数が、ななめに連続して並んでいることも分かると思います。








(３)
３６個のマスをすべて異なる数字で埋めるためには、たとえば「１から３６」までの３６種類の数字を１個ずつ使えばＯＫです。
 
しかし、さっきの問題で確認したように、問題文のルールに従ってマスを埋めていくと、いちばん小さい数といちばん大きい数の差が最大でも３０までしか許されないので、１から３６までの数字を１個ずつ使うことは不可能です。
 
※　３６－１＝３５なので、「差が最大でも３０まで」という条件に反している。
 
そういったことをふまえて模範解答を作成してみると、
 
すべてのマスに異なる数を使うためには３６種類の数字が必要だが、実際には最小の数と最大の数との差が３０までしか許されないから。
 
という感じでＯＫだと思います。