３けたの整数ｎの各位の数を加え、その和が１けたになるまでその作業を続け、最後の１けたの数を[ｎ]で表すことにします。例えば、[１２３]→１＋２＋３＝６(作業１回)なので[１２３]＝６、[７８９]→７＋８＋９＝２４→２＋４＝６(作業２回)なので[７８９]＝６です。
(１) [１４７]を求めなさい。
(２) [ｎ]＝９となるｎのうち、最も小さい数と最も大きい数を求めなさい。
(３) 最も作業が多いのは、何回ですか。また、その時の整数ｎのうち３番目に大きい数を求めなさい。
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(１)
問題文を読んで、ちゃんとルールを理解できたかどうかが問われています。
[１４７]→１＋４＋７＝１２(作業１回目) ２回目の作業を行うと、１＋２＝３になります。
(２)
この問題、一方の答えが途中で見つかっちゃうから、ちょっと説明しにくいです(笑)
３けたの整数ｎの百の位をア、十の位をイ、一の位をウとおくと、次の図のア＋イ＋ウの答えは、最小で１＋０＋０＝１、最大で９＋９＋９＝２７になります。
(画像はすべて、クリックすると拡大します)
ん？９＋９＋９＝２７って、２回目の作業で２＋７＝９になりますよね？
しかも、９９９って間違いなく３けたの中で最大の整数だし・・・
というわけで、あてはまる最大の整数は９９９に決定です。
【最も小さい３けたの数の求め方】
１回目の作業で[ｎ]＝９となる３けたの整数ｎをなるべく小さくするためには、次の図のアに「１」、イに「０」、そして残りのウには９－(１＋０)＝８をあてはめます。
つまり、そのときの３ケタの整数は１０８となります。
(３)
次の図のように１回目の作業の答えの十の位をエ、一の位をオとおくと、ア＋イ＋ウの答えは最大で２７になります。
また、２回目の作業(エ＋オ)の答えの十の位をカ、一の位をキとおくと、その答えは次の図のように最大で１０になるときがあります。
※ エ＋オ＝９以下の場合は、２回目の作業で終わり。
そしてエ＋オ＝１０の場合だけ、次の図のように３回目の作業が必要になるのです。
つまり作業は最大で３回までなのですが、そのときは(カ・キ)＝(１・０)、(エ・オ)＝(１・９)になっている必要があるので、ア＋イ＋ウ＝１９になる組み合わせのうち、まずは最も大きい３けたの整数を見つけてみます。
上の図のように、まずはアに９をあてはめます。そして残りのイとウで合計が１０になる組み合わせのうち、なるべくイが大きい数になる場合を考えます。
※ 「９イウ」の「イ」を大きい数にする→３けたの整数も自然と大きくなる
この場合に考えられるイとウの組み合わせを、イが大きい順に３組目まで確かめてみると、
(イ・ウ)＝(９・１)、(８・２)、(７・３)
となっています。
つまり、この問題の条件にあてはまる３けたの整数のうち、３番目に大きい数は９７３になります。
※ 最大は９９１、２番目は９８２ですね。
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